高斯小学奥数四年级上册含答案第21讲-等积变形.docx

第二^一讲等积变形 乎讦四谄形翠堀幻戒号帚B. 乎讦四谄形翠堀幻戒号帚B. C\ ?个三角形，革均匀生 怅，1草场的苹可使⑷头牛吃I氏，R草场的草可供祀％牛吃 一天「【草场前龜可供⑷（）其牛唏一天,I）堂埸堰？ 三角形和平行四边形的关系非常紧密. 回想它们的面积公式，如果我们把一个平行四边 形沿对角线分成两块，那么每个三角形的面积正好是平行四边形的一半，如图： 除了上面这种情形外， 下图中的阴影三角形由于和平行四边形底、 高都相同，所以面积 也是平行四边形的一半.（注意：长方形也是平行四边形） 底 底 例题1如图，已知平行四边形 ABCD的面积是100平方厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积 是多少平方厘米？「分析」 例题1 如图，已知平行四边形 ABCD的面积是100平方 厘米，E是其中的任意一点，那么图中阴影部分面积 是多少平方厘米？ 「分析」辅助线把整个图形分成了左右两个平行 四边形，两个阴影三角形与它们分别有什么关 系呢？ A B C 练习1 如图，E是平行四边形 ABCD中的任意一点，已 知厶AED与厶EBC的面积和是40平方厘米，那么图 中阴影部分的面积是多少？ A D B C 下图中，两条平行线间有四个三角形：三角形 OAB、三角形PAB、三角形MAB和三角 形NAB，它们的底相同，都是 AB;高相等，都是两条平行线间的距离，所以这四个三角形 的面积是相等的?进一步，我们可以在直线 ON上任取若干个点，这些点分别与 A、B两点 形成若干个同底等高的三角形，这些三角形的面积是相等的. A B 底 我们把这种“底相同，高相等”的情况简称为“同底等高” ?“同底等高”是我们最早碰 到的三角形等积变形的情形，而“等高”最常见的情况就是平行线间的距离相等. 如果两个三角形同底等高，那么它们的面积相等. 利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，是很常见的三角形等积变形. 例题2 如图，平行四边形ABCD的底边AD长20厘米, 高CH为9厘米；E是底边BC上任意的一点，那 么两个阴影三角形的面积之和是多少平方厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把两个三角形变 成一个三角形呢？ 练习2 如图，平行四边形 ABCD的面积是100平方 厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？ AFHBE C例题3 A F H BE C 如图所示，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘 米, BC的长是3厘米.那么图中阴影部分的面积是多少平方 厘米？ 「分析」能否通过等积变形，把上层与下层的三角形 分别变成一个三角形呢？ 练习3 A D在利用同底等高三角形计算面积的题目中, 而寻找同底.等高.、面积相等的三角形.最重要的一步就是去寻找其中的平行线， 进如图，ABCD和CDEF都是平行四边 形，四边形ABFE面积为60平方厘米.请 问：阴影部分面积是多少平方厘米？ A D 在利用同底等高三角形计算面积的题目中, 而寻找同底.等高.、面积相等的三角形. 最重要的一步就是去寻找其中的平行线， 进 例题4 如图，梯形 ABCD中，E是对角线AC上的一点, 已知DE和AB平行，那么与△ ADC面积相等的三角形 一共有哪几个？ 「分析」要找同底等高面积相等的三角形， 首先必须找到平行线哦！ 练习4 如图，梯形 ABCD中，共有几个三角形？其中面积相 等的三角形共有哪几对？ ADO画辅助线是解决几何问题最常用、 最重要的方法之一， 一条好的辅助线，往往能把无从 下手的复杂题目变得非常简单.一般我们习惯把辅助线画成虚线. A D O 在上一讲中，我们已经接触过了一些需要画辅助线解决的题目， 在利用同底等高三角形 计算面积的题目中，我们往往需要自己画出平行线.去构造、寻找同底等高的三角形进而进行 面积转化. 例题5 8厘米.求阴影部分的面积.如图，大正方形的边长是 10厘米，小正方形的边长是 8厘米.求阴影部分的面积. 「分析」图中的三角形底、高都是未知并且不可求的，能否通过等积变形，寻找 与它们同底等高、面积相等的三角形呢？记得先找平行线哦! 如右图，梯形 ABCD中，对角线相交于 0点，由于 AD与BC平行，那么就有△ ABC与厶DBC同底等高、面 积相等，△ ABD与厶ACD同底等高、面积相等. 那么这个图中还有没有其他面积相等的三角形呢？ 我们观察一下，△ ABC与厶BCD都包含有厶OBC，而△ ABC与厶BCD面积相等，那么就有△ ABO与厶CDO面积相等. 我们把梯形中出现的这第三对三角形面积相等称作“梯形的两翼相等” ，因为△ ABO与 △ CDO恰好如同两片翅膀一般，有的时候我们也称其为“蝴蝶模型” “蝴蝶模型”在几何中应用非常广泛，尤其是在高年级学习比例之后， 而且，应用蝴蝶 模型，往往能够使得一些过去非常头疼的题目变得异