第四章信号检测与估计理论课件.pptxVIP

4.5 高斯有色噪声中确知信号波形的检测 高斯白色噪声是理想的噪声模型，在许多 问题中这种噪声模型是一种合理的假设，但 是有色噪声背景是一种更普遍的情形。本节 以高斯有色噪声为背景，研究二元确知信号 波形的检测问题。 1 Ø卡亨南——洛维展开的方法，根据噪声的自相关函数 选择合适的正交函数集…… (本章需要讲解的内容) Ø 白化处理方法：将非白的接收信号x(t)先通过一个白 化滤波器，使滤波器输出端的噪声变成白噪声，然后 按白噪声的方法进行处理，称为白化处理方法，将在 第六章信号的波形估计中讲解。 2 讨论的思路 • 信号模型及其统计特性； • 信号检测的判决表示式； • 检测系统的结构； • 检测性能的分析； • 最佳信号的波形设计。 3 4.5.1 信号模型及其统计特性 直接讨论一般二元确知信号波形的检测问题。在两 个假设下的接收信号分别为 其中， 和 分别是能量为 和 的确知信号； 零均值、自相关函数为 的高斯有色噪声。 是 4 卡亨南——洛维展开的方法，接收信号x(t)可以表示为 展开系数xk表示为 展开系数xk与x(t)成线性关系，它们由x(t)通过与 fk (t)相匹配的滤波器获得。 5 显然，展开系数xk是随机变量，各展开系数之间的协 方差函数等于 6 是以噪声n(t)的自相关函数为核函数的齐次积分方7程 是随机变量 的方差。 这样，我们得到展开系数 表示的信号模型 两个假设下， 都是高斯随机变量， 相互统计独 立。 4.5.2 最佳判决式 为使展开系数 互不相关，应采用卡亨南 洛维展开。为此，正交函数集 的第 个 坐标函数 应满足下列积分方程 式中 8 9 均值和方差分别为 于是，前N项系数构成的N维随机矢量xN在 两个假设下的概率密度函数分别为 10 由前N项构成的似然比检验为 11 设 12 13 14 15 16 17 g1 (t)是确定 的函数 当 时 ，我们得最佳判决式 式中 19 解得。 其等效判决式表示为 并能由方程 20 21 4.5.18式变为 22 相应的检测系统结构如图4.19所示。 将最佳判决式进行等价变换(即4.5.18) ,得 4.5.3 检测系统的结构 23 24 4.5.4 检测性能分析 检验统计量 为 是高斯随机变量.所以,为了分析其检测性能,需求 和偏移系数 。 25 、 式中， g0 (t)和g1 (t)是积分方程的解 两假设下的E(l|Hj)和Var(l|Hj)分别为 26 27 28 29 30 类似地有 31 可见，由已知的确定信号及高斯有色噪声 的自相关函数就能确定检验统计量在两个假设 下的均值和方差。检验统计量的均值满足 类似地有 32 检验统计量的方差满足 33 所以， 随 之差增大而减小，这是合理的。 如果采用最小平均错误概率准则，且满足 ， 显然， 随 增大而减小，原因在于 于是，判决概率为 则有 34 4.5.5 最佳信号波形设计 从信号检测性能分析结果知, 增大性能好;而 与信 号 有关。所以，为了获得最好的检测性能，需要 式中， 为拉格朗日乘子。在 等于常数的条件下，极大化 ，就极大化了 。 的波形。使其达到最大。 的能量之和为 设计最佳信号 设信号 构造辅助函数 35 36 其中, 和 是任意的乘因子; 和 是在 内定义的任意函数。 将(4.5.39)式代入(4.5.38)式,然后完成 用变分法求使 最大的 和 令 和 分别是 和 的最佳波形,则 将(4.5.27)式代入(4.5.37)式,得 37 在 为常数的约束条件下,要极大化 , 由(4.5.49)式 知,要取(4.5.48)式最小的特征值 ,这就是说, 的最佳 从而解得 与 的关系应满足 进而得 和 38 波形是满足(4.5.48)积分方程最小特征值 所对应的特征函 数。 4.5.6 退化情况 , 即噪声退化为零均值、功率 的高斯白噪声,我们来讨论其结果。 时, 由(4.5.16齐次积分方程)式解得 若 的 谱密度为 最佳判决式 当 39 它与(4.4.35)式是等价的。 检测性能分析 检验统计量 是高斯随机变量。 若令 和 的波形相关系数 为 于是,最佳判决式为 40 的关系。 偏移系数 为 也满足 则有 41 最佳波形设计 为使 约束下, 最大, 要满 足 所以,最佳信号波形为 以上结