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可编辑 可编辑 精品文档，欢迎下载 精品文档，欢迎下载 可编辑 精品文档，欢迎下载 第二章 线性方程组数值解法 A 直接方法 1. 考虑方程组： 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 2. (a) 设A是对称阵且，经过高斯消去法一步后，A约化为 证明A2是对称矩阵。 (b)用高斯消去法解对称方程组： 4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为上三角阵。 6. 设A 为n阶矩阵，如果称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A具有形式 。 7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为 ， 其中 证明 （1）A的对角元素 （2）A2是对称正定矩阵； （3） （4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5） （6）从（2），（3），（5）推出，如果，则对所有k 可编辑 可编辑 精品文档，欢迎下载 精品文档，欢迎下载 可编辑 精品文档，欢迎下载 8. 设为指标为k的初等下三角阵，即 （除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） 求证当时，也是一个指标为k的初等下三角阵，其中为初等排列阵。 9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设，其中U为三角矩阵。 (a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求的计算公式。 11. 证明（a）如果A是对称正定阵，则也是正定阵； （b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵： 13. 用追赶法解三对角方程组，其中 14. 用改进的平方根法解方程组 15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？ 16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组 可编辑 可编辑 精品文档，欢迎下载 精品文档，欢迎下载 可编辑 精品文档，欢迎下载 . 17. 如果方阵A 有，则称A为带宽2t+1的带状矩阵，设A满足三角分解条件，试推导的计算公式，对 1） ； 2） . 18. 设 ， 计算A的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证 (a) ， (b) 。 20. 设 且非奇异，又设为上一向量范数，定义 。 试证明是上的一种向量范数。 21. 设为对称正定阵，定义 ， 试证明为上向量的一种范数。 22. 设，求证 。 23. 证明：当且尽当x和y线性相关且时，才有 。 24. 分别描述中（画图） 。 25. 令是（或）上的任意一种范数，而P是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范数，证明。 26. 设为上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数，使对一切满足 27. 设，求证与特征值相等，即求证。 28. 设A为非奇异矩阵，求证 可编辑 可编辑 精品文档，欢迎下载 精品文档，欢迎下载 可编辑 精品文档，欢迎下载 。 29. 设A为非奇异矩阵，且，求证存在且有估计 30. 矩阵第一行乘以一数，成为 。 证明当时，有最小值。 31. 设A为对称正定矩阵，且其分解为，其中，求证 (a) (b) 32. 设 计算A的条件数。 33. 证明：如果A是正交阵，则。 34. 设且为上矩阵的算子范数，证明 。 B 迭代法 1. 设方程组 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性; 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当时迭代终止． 2. 设, 证明:即使级数也收敛． 3. 证明对于任意选择的A, 序列 收敛于零． ４. 设方程组 可编辑 可编辑 精品文档，欢迎下载 精品文档，欢迎下载 可编辑 精品文档，欢迎下载 迭代公式为 求证: 由上述迭代公式产生的向量序列收敛的充要条件是 5. 设方程组 (a) (b) 试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。 6. 求证的充要条件是对任何向量x，都有 7. 设，其中A对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵的谱半径； 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径； 考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯－塞德尔迭代法的收敛性。 9. 用SOR方法解方程组（分别取松弛因子） 精确解要求当时迭代终止，并且对每一个值确定迭代次数。 10. 用SOR方法解方程组（取＝0