平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理.docVIP

平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理 [文件] sxcbk0078.doc [科目] 数学 [关键词] 初二/几何/中位线/例题 [标题] 平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理 [内容] 平行线等分线段定理、三角形中位线定、理梯形中位线定理 【内容综述】　 1. 三角形中位线性质定理，梯形中位线性质定理，是三角形、梯形的重要性质。特别是三角形中位线，是继三角形的角平分线、中线、高线后的又一条重要线段。因此在研究三角形问题中，三角形中位线是常常需要添加的辅助线。　　2. 在复杂图形中，通过观察图形，联系已知条件，联想并构造平行线等分线段定理、三角形中位线定理及梯形中位线定理的基本图形。定理与基本图形的对应关系，是我们正确联想，添加辅助线，将复杂问题转化为简单问题，将不熟悉问题转化为熟悉问题，形成思路的关键环节。　　【例题分析】　　★例1：如图，MN分别是平形四边形ABCD中AB、CD的中点，CM交BD于E，AN交BD于F， 分线段定理”的基本图形，还是“平行线等分线段定理推论”的基本图形，其共性特点，即解决问题的关键，都需要推证出AN//MC，两种思路但根据已知条件，推证AN//MC的方法是一样的。　　证明一：分别过D、B两点GD//AN，BH//AN 四边形ABCD是平行四边形，CD//=AB.　　又M、N分别是AB、CD的中点，AM//=NC，四边形AMCN是平行四边形，AN//MC.GD//AN//MC//BH.BE=EF=FD（一组平行线在一条直线上截得的线段相等，在其它直线上截得的线段边相等。）　　证明二：四边形ABCD是平行四边形，AB//=CD，又M、N分别是AB、CD的中点，AM//=NC，四边形AMCN是平行四边形。AN//CM。NF//CE，ME//AF。F点是DE的中点，E点是BF的中点。（经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边。）FE=FD，BE=FE 即 BE=EF=FD。　　说明：平行线等分线段定理及推论常需要与平行四边形及特殊平行四边形的性质综合应用。特别需要注意的是运用平行线等分线段定理的推论是说明中点的。因此，在推证中“点X是中点”这一步是绝不可省略不写的。　　★★例2：如图，梯形ABCD中，AD//BC，BCAD，E、F分别是AD、BC的中点，C=54， B=36，求证：EF=（BC-AD）　　　思路一：要推证梯形上底，下底中点连线等于两底差的一半，我们不能将AD移到BC上，因此需将梯形通过作平行线转化为平行四边形和三角形，由于BF=FC=BC，AE=ED=AD，因此过E点分别作EM//AB，EN//DC，交BC于M、N.于是可知，MF=BC-AD，FN=BC-AD 显然应该有MF=FN，而结论需推证EF=MF=FN 因而可联想“一边的中线，等于这边一半”的基本图形应该是RT△，若△MEN是直角三角形，则问题得以解决。因而推证△MEN是直角三角形，成为解决问题的关键。由于B=36，C=54，显然，B+C=90，由于EM//AB，EN//CD，因此有1=36， ，从而转化为，从而可推证出，思路形成再利用直角三角形斜边中线，等于斜边的一半，推证出结论。　　 　　思路二：若我们观察图形，根据已知条件联想图形性质时，从，，敏感到互余的性质，会自然联想到直角三角形，因而我们可通过延长梯形两腰转化为直角三角形。由于AD//BC，显然△ADM与△BCM都是直角三角形。由于E是AD中点，因此ME=AD 又由于F是BC中点，因此，MF=BC，但这样研究问题就出现，M、E、F是否在同一条直线上的问题，显然，若M、E、F在同一条直线上，则MF-ME=EF，可使问题得证。因此推证M、E、F在同一条直线上，是解决问题的关键。假设MF与AD交于E点，由于AD//BC，ME=AE， ，MF=BF， ，因而，，因此，，从而说明E、E点重合，则可推证M、E、F三点共线，由此可得到EF=（BC-AD）的结论。　　证明一：过E点分别作EM//AB，EN//DC且分别交BC于M、N点。　　ABCD是梯形，且AD//BC，四边形ABME、ENCD是平行四边形。AE=ED, AE=BM=ED=NC。又BF=FC，MF=BF-BM，FN=FC-NC，MF=FN 又，，。。 ，　　证明二：分别延长BA、CD交于M，连结ME。连结MF且设MF交AD于E 。在RTΔBMC中，F是BC中点，。 　 。在RTΔAMD中， E是AD中点，ME=，。 与E重合，M、E、F点在同一条直线上。EF=MF-ME=即EF=（BC-AD）　　说明：此题是利用梯形常添加的辅助线，平移腰或延长两腰交于一点，将梯形转化为平行四边形和直角三角形。梯形两腰中点的连线等于两底和的一半