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第八讲动态几何与函数问题(含解析) 第八讲动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们差不多研究了动态几何问题的一般思路，然而那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个那么是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。然而这两种侧重也没有特别严格的分野，特别多题型都特别类似。因此相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。只是从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为特别复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，表达了中考数学的考试说明当中“减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。然而这也不能放松，因此笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例1】 如图①所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与轴负半轴上.过点B、C作直线.将直线平移，平移后的直线与轴交于点D，与轴交于点E. 〔1〕将直线向右平移，设平移距离CD为〔t≥0〕，直角梯形OABC被直线扫过的面积〔图中阴影部份〕为，关于的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，N点横坐标为4，求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积. 〔2〕当时，求S关于的函数解析式. 【思路分析】此题尽管不难，然而特别考验考生关于函数图像的理解。特别多考生看到图二的函数图像没有数学感受，反应不上来那个M点是何含义，因此无从下手。事实上M点就表示当平移距离为2的时候整个阴影部分面积为8，相对的，N点表示移动距离超过4之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一下就能想到阴影面积固定确实是当D移动过了0点的时候.因此依照这么几种情况去作答就能够了。第二问建立函数式那么需要看出当时，阴影部分面积确实是整个梯形面积减去△ODE的面积，因此依照那个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 〔1〕由图〔2〕知，点的坐标是〔2，8〕 ∴由此判断：； ∵点的横坐标是4，是平行于轴的射线， ∴ ∴直角梯形的面积为：.....(3分) 〔2〕当时， 阴影部分的面积=直角梯形的面积的面积(差不多上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特别图形有割补关系) ∴ ∵ ∴. ∴ . 【例2】 ：在矩形中，，、分别以所在直线为轴和轴，建立如下图的平面直角坐标系、是边上的一个动点〔不与重合〕，过点的反比例函数的图象与边交于点、 〔1〕求证：与的面积相等； 〔2〕记，求当为何值时，有最大值，最大值为多少？ 〔3〕请探究：是否存在如此的点，使得将沿对折后，点恰好落在上？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，请说明理由、 【思路分析】此题看似几何问题，然而实际上△AOE和△FOB这两个直角三角形的底边和高恰好确实是E,F点的横坐标和纵坐标，而那个乘积恰好确实是反比例函数的系数K。因此直截了当设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依旧纠结那个△EOF的面积该如何算，事实上从第一问的结果就能够发明那个矩形中的三个RT△面积基本上异常好求的。因此利用矩形面积减去三个小RT△面积即可，通过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路确实是假设那个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边,因此自然去利用三角形相似去求解，因此变成一道比较典型的几何题目，做垂线就OK. 【解析】 〔1〕证明：设，，与的面积分别为，， 由题意得，、 ，、 ，即与的面积相等、 〔2〕由题意知：两点坐标分别为，，(想不到如此设点也能够直截了当用X去代入,麻烦一点而已) ， 、 当时，有最大值、 、 〔3〕解：设存在如此的点，将沿对折后，点恰好落在边上的点，过点作，垂足为、 由题意得：，，， ，、 又， 、(将和所求的量放在这一对有关联的三角形当中) ，， 、 ，，解得、 、 存在符合条件的点，它的坐标为、 【例3】 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D动身，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C动身，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时动身，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t〔秒〕。 〔1〕设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式； 〔2〕当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 〔3〕是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？假设存在，求出t的值；假设不存在，请说明理由。 【思路分析】此题是一道和一