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线性矩阵不等式演示文稿 本文档共31页；当前第1页；编辑于星期一\18点27分 线性矩阵不等式 本文档共31页；当前第2页；编辑于星期一\18点27分 主要内容 线性矩阵不等式概论 系统性能分析 控制器设计 本文档共31页；当前第3页；编辑于星期一\18点27分 线性矩阵不等式概论 本文档共31页；当前第4页；编辑于星期一\18点27分 线性矩阵不等式的一般表示 线性矩阵不等式： ——仿射矩阵不等式 仿射函数即由1阶多项式构成的函数，一般形式为 f (x) = A x + b，这里，A 是一个 m×k 矩阵，x 是一个 k 向量,b是一个m向量，实际上反映了一种从 k 维到 m 维的空间映射关系。 设f是一个矢性（值）函数，若它可以表示为 其中 可以是标量，也可以是矩阵，则称f是仿射函数。 本文档共31页；当前第5页；编辑于星期一\18点27分 凸（约束）问题 定义（凸集） 一个集合 的连线仍在集合内。 和 及参数 有 称为 的凸组合。 称为凸的，如果集合中任意两点 即任意给定两点 和 将矩阵不等式的解约束在矩阵变量定义的空间中 本文档共31页；当前第6页；编辑于星期一\18点27分 关于凸集定义的理解 本文档共31页；当前第7页；编辑于星期一\18点27分 Schur补定理 引理 (Schur Complement) 对于分块对称阵 其中 b) ，且 c) ，且 a) 为方阵，则以下三个条件是等价的： 本文档共31页；当前第8页；编辑于星期一\18点27分 Schur补应用 若要证明存在对称矩阵P0,Q0,R0,使得如下不等式成立 只需证明如下线性矩阵不等式(LMI)成立 Schur补：是将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式的有效工具 本文档共31页；当前第9页；编辑于星期一\18点27分 标准的线性矩阵不等式问题 可行性问题(LMIP)—求不等式的可行解 检验是否存在x，使得 成立。 特征值问题(EVP)－－求不等式的优化解 广义特征值问题(GEVP)－－仿射矩阵函数的不等式优化问题 Linear Matrix Inequality (LMI) 本文档共31页；当前第10页；编辑于星期一\18点27分 系统性能分析 本文档共31页；当前第11页；编辑于星期一\18点27分 连续时间系统 系统增益指标 考虑 本文档共31页；当前第12页；编辑于星期一\18点27分 L2范数 对于平方可积的信号 ，定义 其中 是向量的欧式范数。这样定义的 正好是信号 的能量。将所有有限能量的全体记成 即 也称为信号 的 范数 本文档共31页；当前第13页；编辑于星期一\18点27分 L∞范数 对幅值有界的信号 ，定义 当 是一个标量信号时， 等于 的峰值。 将所有幅值有界的信号全体记成 即 也称为信号 的 范数。 本文档共31页；当前第14页；编辑于星期一\18点27分 四个性能指标 IE(Impulse-to-Energy)增益： EP(Energy-to-Peak)增益： EE(Energy-to-Energy)增益： PP(Peak-to-Peak)增益： 本文档共31页；当前第15页；编辑于星期一\18点27分 定理1---IE 若有一最优值 ，则 本文档共31页；当前第16页；编辑于星期一\18点27分 定理2---EP 若有一最优值 ，则 本文档共31页；当前第17页；编辑于星期一\18点27分 定理3---EE 本文档共31页；当前第18页；编辑于星期一\18点27分 定理4---PP 本文档共31页；当前第19页；编辑于星期一\18点27分 H2性能 T的H2范数的平方等于系统脉冲响应的总的输出能量。(IE) 系统的H2范数也可以用系统在白噪声输入信号激励下的稳态输出方差来解释。(EP) 对于SISO系统 本文档共31页；当前第20页；编辑于星期一\18点27分 用线性矩阵不等式刻画系统的H2范数 本文档共31页；当前第21页；编辑于星期一\18点27分 H∞性能 增益 有一个频率域的解释：它恰好等于传递函数 的 范数，即 本文档共31页；当前第22页；编辑于星期一\18点27分 用线性矩阵不等式刻画系统的H∞范数 定理：针对系统(3.1.1)和给定的一个常数γ 0,若存在对称矩阵P0,使得如下线性矩阵不等式成