专题06 整式乘除能力提升题（解析版）.docx

专题06 整式乘除能力提升题 华师版数学八年级上册期末考试，通常用“整式乘除能力提升题”，作为解答题的第五题。特别是与完全平方公式有关的能力提升题。 1．图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的方法拼成一个边长为的正方形． (1)请用两种不同的方法求图中阴影部分的面积． 方法： ； 方法： ． (2)观察图写出，，三个代数式之间的等量关系： ． (3)根据（）中你发现的等量关系，解决如下问题：若，，求的值． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）根据图形可得： 方法：； 方法：． 故答案为：，． （2）由阴影部分的两个面积代数式相等， 可得： ． 故答案为：． （3）∵，， ． 2．阅读下列材料，回答问题． 随着数学学习的深入，数系不断扩充，为了解决这个方程在实数范围内无解的问题，我们引入一个新数i（i被称为虚数单位），规定，并且新数i满足交换律、结合律和分配律． 例如：； ． 请根据以上材料．回答下列问题： (1)_____________；_____________；_____________；_____________． (2)计算：①?????② 【答案】(1)；(2)①，② 【详解】（1）； ； ； ； 故答案为：； （2）解：①； ② ． 3．阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数x，y满足，求的值． (2)在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】(1)3；(2)， 【详解】（1）解：设，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ， ∴． 4．根据所学我们知道：可以通过用不同的方法求解长方形面积，从而得到一些数学等式．如图1可以表示的数学等式：，请完成下列问题： (1)写出图2中所表示的数学等式：______． (2)从图3可得______． (3)结合图4，已知，，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)11． 【详解】（1）解：由题意可知：； 故答案为：； （2）解：； 故答案为：； （3）解：根据题意得：， 而，， ， ∴． 5．阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． (1)如图，利用阴影面积的不同表示方法写出一个我们熟悉的数学公式：___________； (2)解决问题：如果，求的值； (3)类比第（2）问的解决方法探究：如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积． 【答案】(1)；(2)49；(3)7． 【详解】（1）解：方法一:通过观察可得，阴影部分的长为，宽也为， 即阴影部分为一个正方形，则； 方法二：边长为a的大正方形，减去2个长为a，宽为b的长方形，再加上多减掉一次的边长为b的小正方形， 即为阴影部分的面积；则， ； （2）解：， ； （3）解：设，， ， ， ， ， 所以长方形的面积为：． 6．数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助解数学问题． (1)请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式． 图1：______；图2：______；图3：______． 其中，完全平方公式可以从“形”的角度进行探究，通过图形的转化可以解决很多数学问题，在图4中，已知，，求的值． 解：∵，∴， 又∵，∴， ∴.即． 类比迁移： (2)若，则______； (3)如图5，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，阴影部分面积为______． 【答案】(1)，，； (2)；(3)12． 【详解】（1）解：图1中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图2中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得：； 图3中阴影部分面积可以表示为，也可以表示为， 故可得： 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴ ， 故答案为：28； （3）解：设，则， ∵两正方形的面积和， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴， ∴， 故答案为：12． 7．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规则图形的面积． (1)如图所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都