中考数学几何专项练习：动点路径线段最值问题（解析版）.docxVIP

试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页 中考数学几何专项练习：动点路径线段最值问题 一、填空题 1．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是 ． 【答案】． 【分析】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF＝EK，根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，用勾股定理求出EK即可解决问题． 【详解】如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK． ∵BE＝BF，BK＝BA， 又∵∠EBF＝∠ABK＝60°， ∴∠ABF＝∠KBE， ∴△ABF≌△KBE（SAS）， ∴AF＝EK， 根据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°， ∵∠BAK＝60°， ∴∠EAK＝75°， ∵∠AEK＝90°， ∴∠AKE＝15°， ∵TA＝TK， ∴∠TAK＝∠AKT＝15°， ∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°， 设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET=a， 在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2， ∴a2+（2a+a）2＝4， ∴a＝， ∴EK＝2a+a＝， ∴AF的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 2．如图，在一个的网格中，点都在格点上，，点P是线段AB上的一个动点，连接OP，将线段OA沿直线OP进行翻折，点A落在点C处，连接BC，以BC为斜边在直线BC的左侧（或下方）构造等腰直角三角形，则点P从A运动到B的过程中，线段BC的长的最小值为 ，线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点） ． 【答案】 4 【分析】根据仅当C在OB上时等号成立，由折叠性质可知OA=OC，从而求出BC的最小值；再证明，而且相似比为：1，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，由此画出图形即可得出格点的个数． 【详解】解：如图，连接OB，AD． ∵， ∴， 又∵仅当C在OB上时等号成立， ∴BC的最小值， 又∵， ∴BC的最小值， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴如图：点D在以为半径的圆弧上运动，当点P与点A重合时，点D在处，当点P与点B重合时，点D在处， ∴线段BD所扫过的区域内的格点的个数为（不包含所扫过的区域边界上的点）4个． 故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查了对称变换和旋转相似，解题关键是通过旋转相似证明，从而得出点D在以为半径的圆弧上运动，再根据画图得出结论． 3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ． 【答案】//4.8 【分析】设，交于点，四边形PAQC是平行四边形，则，即求的最小值即可，当时，取得最小值，即最小，过点作于点，当重合时，最小，据此即可求得的最小值． 【详解】如图，设，交于点，过点作于点， 四边形PAQC是平行四边形， ， 当时，取得最小值，即最小，当重合时，最小， ∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ， 又 故答案为： 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短，相似三角形的性质与判定，求得的长是解题的关键． 4．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明△CAB∽△CP′O利用对应线段的比得到OP的长度，继而得到PQ的长度． 【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝＝5， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线OP′， ∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴△CAB∽△CP′O， ∴， ∴， ∴OP′＝， ∴则PQ的最小值为2OP′＝， 故