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第十八章 平行四边形 平行四边形的性质 示范区实验学校：李明霞 许昌市示范区实验学校中学部 学习目标： 平行四边形的定义及边、角性质 平行四边形的对角线性质 利用平行四边形的性质进行简单的计算和证明 1 探究一 平行四边形的定义 问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 两组对边都不平行 一组对边平行， 一组对边不平行 两组对边分别平行 问题2 总结平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD 记作 ABCD ( 要注意字母顺序). 1.定义: A B D C 归纳总结 数学语言： ∵AD∥BC,AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 2 探究二 平行四边形的性质——边、角性质 A B C D 活动 请用尺子、量角器等工具度量你手中平行四边形的四条边及四个角，并记录下数据，你能发现AB与DC，AD与BC，∠A与∠C，∠B与 ∠D之间的数量关系吗? 测得AB=DC，AD=BC. A B C D 测得∠A =∠C，∠B =∠D. 两组对边及两组对角分别相等. 怎样证明这个猜想呢？ 证明：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AB ∥ CD, ∴∠1=∠2，∠3=∠4. 又∵AC是△ABC和△CDA的公共边， ∴ △ABC≌△CDA, ∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC. ∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3， ∴∠BAD=∠BCD. A B C D 1 4 3 2 已知：四边形ABCD是平行四边形. 求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 证一证 归 纳 1.平行四边形的对边相等 数学语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AD=BC 平行四边形的性质除了两组对边分别平行以外，还有: A B C D 2.平行四边形的对角相等 数学语言： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C ,∠B=∠D 例 如图，在 ABCD中. (1)若∠A =32。,求其余三个角的度数. A B C D ∵四边形ABCD是平行四边形 解： 且 ∠A =32。(已知), ∴ ∠A = ∠C=32。, ∠B= ∠D (平行四边形的对角相等). 又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）, ∴ ∠A + ∠B =180。(两直线平行，同旁内角互补), ∴ ∠B= ∠D= 180。- ∠A = 180。- 32。=148。. 典例精析 (2)连接AC，已知 ABCD的周长等于20 cm，AC= 7cm，求△ABC的周长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴AB=CD，BC=AD(平行四边形的对边相等). 又∵AB+BC+CD+AD=20cm(已知), ∴AB+BC= 10cm. ∵AC=7cm, ∴ △ABC的周长为AB+BC+AC= 17cm. A B C D 如图 ，在? ABCD 中，DE⊥AB，BF⊥CD， 垂足分别为E，F.求证AE=CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，AD=CB. 又 ∠AED=∠CFB = 90。， ∴△ADE≌△CBF. ∴ AE=CF. 证明： 小试牛刀 3 探究三 平行四边形的性质——对角线互相平分 我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? A B C D O 如图，在□ABCD中，连接AC，BD，并设它们相交于点O. OA与OC，OB与OD是否相等？ 猜一猜 怎样证明这个猜想呢？ 已知：如图,□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 求证：OA=OC，OB=OD. 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD=BC，AD∥BC, ∴ ∠1=∠2，∠3=∠4, ∴ △AOD≌△COB（ASA）, ∴ OA=OC，OB=OD. A C D B O 3 2 4 1 证一证 归 纳 A C D B O 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形对角线的性质： 数学语言： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA=OC，OB=OD. 当堂训练 1.如图1，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，若AD=16，AC=24，BD=12，则△OBC的周长为（ ） A.26 B.34 C.40 D.52 B 图1 图2 2.如图，在?ABCD中，对角线