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2023河北保定容大中学期中数学 2023年河北保定容大中学期中数学题参考解答一、选择题（每小题4分，共40分）1. 设集合 $A = \{1,\ 3,\ 5,\ 7\}$，$B = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$，则 $A \cap B = \underline{ \{1,\ 3,\ 5\} }$。2. 已知函数 $f(x) = (\sqrt{x} - 1)^2$，则 $f(4) - f(1) = \underline{ 2 }$。3. 应用函数 $y = a \cdot b^x$ 进行拟合，已知当 $x = 1$ 时 $y = 2$，当 $x = 2$ 时 $y = 4$，则 $a = \underline{ 2 }$。4. 下列等比数列中，公比为正数的是 $\underline{ (1),\ (2),\ (4),\ (5),\ (6),\ (7) }$。5. 函数 $y = ax^2 - 2ax + a$ 的图像是一个抛物线，则 $a$ 的取值范围是 $\underline{ x \neq 0 }$。6. 若 $\log_{\frac{1}{2}} 8 = a$，则 $a = \underline{ -3 }$。7. 若 $\sin \frac{x}{3} = \frac{1}{2}$，则 $x$ 的取值范围是 $\underline{ x = \frac{\pi}{6} + k\pi,\ x = \frac{5\pi}{6}+ k\pi }$。8. 方程 $x^2 - 2\sqrt{2} x + 2 = 0$ 的实数根的个数为 $\underline{ 0 }$。9. 已知 $\cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，且 $\alpha - \beta \in (0,\ \frac{\pi}{2})$，则 $\tan \alpha \tan \beta$ 的值是 $\underline{ 2 }$。10. 集合 $\{x \mid x \geq 1\}$ 和 $\{x \mid x \leq -1\}$ 的交集是 $\{x \mid \underline{ x = 1}\}$。二、填空题（每空2分，共40分）11. 一批货物经企业运输后，货物种类不变，只是货物的数量发生了变化，这属于 \underline{ 数量扩大 }。12. 每辆大巴车最多能装乘客 45 人，45 人正好可以坐 3 辆大巴车，则 8 辆车最多能装乘客 \underline{ 180 } 人。13. 已知向量 $\overrightarrow{AB} = (1, \ 2)$，$\overrightarrow{BC} = (3, \ 1)$，则 $\overrightarrow{AC} = \underline{(4, \ 3)}$。14. 若函数 $y = 4^{\frac{1}{2} - x}$ 是偶函数，则 $x = \underline{0}$。15. 若直线 $y = kx + 1$ 与 $y = 2x - 1$ 平行，则 $k = \underline{2}$。16. $\sin \theta = \frac{1}{2}$，则 $\theta$ 的解为 $\underline{\frac{\pi}{6}, \ \frac{5\pi}{6}}$。17. 若 $a 0$，且 $-1 x 1$，则 $\frac{a^x}{a^{-x}} = \underline{a^{2x}}$18. 记 $A=\log_{\frac{1}{5}} 4$，$B=\log_3 \frac{3}{4}$，则 $A + B = \underline{0}$。19. 若 $\tan \alpha = \sqrt{3}$，则 $\sin (\alpha + 60^\circ) = \underline{\frac{\sqrt{3}}{2}}$。20. $2^{m+n} = 16$，$2^m = 4$，则 $2^n = \underline{4}$。三、解答题（共20分）21.（1）已知 $a = \log_2 5$，要求 $\log_2 \frac{125}{2} + \log_{\frac{1}{10}} \frac{8}{625^{a+1}}$ 的值。解：利用对数的乘法法则和换底公式，\begin{align*}\log_2 \frac{125}{2} + \log_{\frac{1}{10}} \frac{8}{625^{a+1}} = \log_2 (125/2) + \log_{(1/10)} (8/625