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有趣的数阵图 风子编辑 1 观察图形，找出规律，进而发现数的规律 学会适当的推理，通过观察、尝试、验证等对问题进行思考 将问题简单化，找出解决问题的最佳途径 教育难点 教育目标 教育重点 利用数形结合、容斥原理解决数阵图问题 观察发现图形规律，及数的规律。 2 3 设三条边的和相加为S，则有： S=3×9=27，即顶角的三个数被加了两次 则顶角三个数的和为： S-A=6，而在1-6中，三个数之和为6的只有1+2+3，所以把1、2、3 分别填入三个顶角。 剩下4、5、6分别填在中间的圆圈中，使直线上三个数的和为9. 例1、把1-6这六个数填在下图六个○中，使每条边上的三个数之和都 等于9。 一类是两条边的公共点，另一类是独立存在的。 把1-6这6个数填到6个圆圈中，则圆圈中的六个数字之和设为A： A=1+2+3+4+5+6=21 3 小结： 1、观察图形的特征； 2、找出公共点及被重复使用的次数； 3、通过不同方式，计算出公共点的和； 4、根据数的特点确定公 共点的数。 【分析】左图是一个三角形形状，每条边上有三个圆圈。三角形 中的六个圆圈可以分成两类。 4 2 6 5 1 4 【分析】与上一题的区别在于条件变成了三个数之和相等。即受 限条件减少。 图形特征：三角形每边三个数，顶点三个为公共点，中间点为独 立点。 数字特点： 1-6为连续自然数，呈等差数列。 因此，需要把1-6这6个数分成两组，每组都是等差数列。即(123 和456， 135和246)。 例2、将1-6填在下图中的○里，使每条边上的三个数之和相等，有几 个基本解？共有多少种填法？ 本题可以通过确定直线最小值和最大值，计算出公共点的和，再 分类讨论，剔除不合适的组。方法相对原始，但不容易漏掉。 4组数列分别填在三个顶角，构建成的直线的和不同，所以基本解有4个。而每组三个数在 三个顶点的位置又有6种方式。所以合计填法为： 4×6=24种。 5 【分析】图形特征：正方形的四条边上有四个数字，四个顶角 被重复使用。 数的特征：四条边上的数字和都为22，边上的数字为1~12 12个数字之和为： ( 1+12) ×12÷2=78 4条边数字和的相加为： 22×4=88 重复四个角的数字和为： 88-72=10 因为1+2+3+4=10，所以1-4放在四个顶角。 例3、把1~12这十二个数，分别填在下图中正方形四条边上的十二个 ○内，使每条边上四个○内数的和都等于22，试求出一个基本解。 10 7 8 11 最后一步的规律必须让学生领会。可以把和都为22的条件去掉做讲解 因为1-12是一个等差数列，确定1-4为四个顶角，且按逆时针方向排列后，可以把剩 下的分成5-8， 9-12两组，分别填在直线上对应的位置。 2 5 12 3 9 6 4 1 6 【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用三次。 数字特征： 1-7为七个连续自然数，呈等差数列。 每条线段上的数字和没有受到制约，因此只要考虑除中间数字之外， 其它6个数两两相加和相等。 把1-7个数写出来： 1、2、3、4、5、6、7，可以发现擦掉1、4、7 (留意这三个数的位置)，剩下的数首尾相加，和相等。 随便挑选一组，填到左图圆圈内。 例4、把1~7这七个数分别填入下图中的各个圆圈内，使每条线段上三个 ○内的数的和相等。 7 2 1 4 3 6 5 7 【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用四次。 数字特征： 1-9为九个连续自然数，呈等差数列。与上题 相比较，在图形特征与数字特征中，存在雷同性。 把1-9个数写出来： 1、2、3、4、5、6、7、8、9，可以发现 擦掉1、5、9 (留意这三个数的位置)，剩下的数首尾相加， 和相等。 随便挑选一组，填到左图圆圈内。 例5、将1~9这九个数，分别填入下图中的各个○内，使每条线段上三 个○内的数的和相等。 分析例4、 5 ，图形特征与数字特征相同的情况下，填数的方式雷同。 5 4 2 6 8 3 9 7 1 8 【分析】图形特征：这是中心辐射型，中间圆圈重复使用五次。 数字特征： 1-11为11个连续自然数，呈等差数列。与 上两题相比较，图形特征与数字特征存在雷同性，但每条线上 三个数字和受限制。因此需要确定公共圆圈的值。 五条线段上的数字和相加为： 22×5=110 11个圆圈内的数字和为： 11×12÷2=66 则公共圆圈的数字为： ( 110-66) ÷ ( 5-1) =11 剩余圆圈上的填法，与之前题目相同。对剩下的10个数首尾取 数即可。 例6、把1~11这十一个数分别填