求多个数最小公倍数的一种变换算法.doc

求多个数最小公倍数的一种变换算法 2011-07-21 10:39:49| 分类:C++|字号订阅 令[a1,a2,..,an] 表示a1,a2,..,an的最小公倍数,(a1,a2,..,an)表示a1,a2,..,an的最大公约数,其中a1,a2,..,an为非负整数。对于两个数a,b,有[a,b]=ab/(a,b),因此两个数最小公倍数可以用其最大公约数计算。但对于多个数,并没有[a1,a2,..,an]=M/(a1,a2,..,an)成立, M为a1,a2,..,an的乘积。例如:[2,3,4]并不等于24/(2,3,4)。即两个数的最大公约数和最小公倍数之间的关系不能简单扩展为n个数的情况。 本文对多个数最小公倍数和多个数最大公约数之间的关系进行了探讨。将两个数最大公约数和最小公倍数之间的关系扩展到n个数的情况。在此基础上,利用求n个数最大公约数的向量变换算法计算多个数的最小公倍数。 1.多个数最小公倍数和多个数最大公约数之间的关系 令p为a1,a2,..,an中一个或多个数的素因子,a1,a2,..,an关于p的次数分别为 r1,r2,..,rn,在r1,r2,..,rn中最大值为rc1=rc2=..=rcm=rmax,最小值为rd1=rd2=..=rdt=rmin,即r1,r2,..,rn中有m个数所含p的次数为最大值,有t个数所含p的次数为最小值。例如: 4,12,16中关于素因子2的次数分别为2,2,4,有1个数所含2的次数为最大值,有2个数所含2的次数为最小值;关于素因子3的次数分别为0,1,0,有1个数所含3的次数为最大值,有2个数所含3的次数为最小值。 对最大公约数有,只包含a1,a2,..,an中含有的素因子,且每个素因子次数为a1,a2,..,an 中该素因子的最低次数,最低次数为0表示不包含[1]。 对最小公倍数有,只包含a1,a2,..,an中含有的素因子,且每个素因子次数为a1,a2,..,an 中该素因子的最高次数[1]。 定理1:[a1,a2,..,an]=M/(M/a1,M/a2,..,M/an),其中M为a1,a2,..,an的乘积,a1,a2,..,an 为正整数。 例如:对于4,6,8,10,有[4,6,8,10]=120,而M=4*6*8*10=1920,M/(M/a1,M/a2,..,M/an) =1920/(6*8*10,4*8*10,4*6*10,4*6*8)=1920/16=120。 证明: M/a1,M/a2,..,M/an中p的次数都大于等于r1+r2+..+rn-rmax,且有p的次数等于 r1+r2+..+rn-rmax的。这是因为 (1)M/ai中p的次数为r1+r2+..+rn-ri,因而M/a1,M/a2,..,M/an中p的次数最小为r1+r2+..+rn-rmax。 (2)对于a1,a2,..,an中p的次数最大的项aj(1项或多项),M/aj中p的次数为r1+r2+..+rn-rmax。 或者对于a1,a2,..,an中p的次数最大的项aj,M/aj中p的次数小于等于M/ak,其中ak为a1,a2,..,an中除aj外其他的n-1个项之一,而M/aj中p的次数为r1+r2+..+rn-rmax。 因此,(M/a1,M/a2,..,M/an)中p的次数为r1+r2+..+rn-rmax,从而M/(M/a1,M/a2,..,M/an)中p的次数为rmax。 上述的p并没有做任何限制。由于a1,a2,..,an中包含的所有素因子在 M/(M/a1,M/a2,..,M/an)中都为a1,a2,..,an中的最高次数,故有 [a1,a2,..,an]=M/(M/a1,M/a2,..,M/an)成立。 得证。 定理1对于2个数的情况为[a,b]=ab/(ab/a,ab/b)=ab/(b,a)=ab/(a,b),即[a,b]=ab/(a,b)。因此,定理1为2个数最小公倍数公式[a,b]=ab/(a,b)的扩展。利用定理1能够把求多个数的最小公倍数转化为求多个数的最大公约数。 2.多个数最大公约数的算法实现 根据定理1,求多个数最小公倍数可以转化为求多个数的最大公约数。求多个数的最大公约数(a1,a2,..,an)的传统方法是多次求两个数的最大公约数,即 (1)用辗转相除法[2]计算a1和a2的最大公约数(a1,a2) (2)用辗转相除法计算(a1,a2)和a3的最大公约数,求得(a1,a2,a3) (3)用辗转相除法计算(a1,a2,a3)和a4的最大公约数,求得(a1,a2,a3,a4) (4)依此重复,直到求得(a1,a2,..,an) 上述方法需要n-1次辗转相除运算。 本文将两个数的辗转相除法扩展