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专题1.2 数轴与动点经典题型(四大题型)
重难点题型归纳
【题型1 最值问题】
【题型2 线段的和倍差问题】
【题型3 数轴与行程相遇综合问题】
【题型4 数轴上新定义问题】
满分必练
【题型1 最值问题】
【典例1】(2022秋?栖霞区校级月考)【定义新知】
我们知道:式子|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离,因此,若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b,则A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|.若点P表示的数为x,请根据数轴解决以下问题:
【初步应用】
(1)式子|x+5|在数轴上的意义是 ,若|x+5|=6则x的值为 ;
(2)当|x+3|+|x﹣1|取最小值时,x可以取整数 ;
(3)当x为 时,|x+2|+|x+6|+|x﹣1|的值最小,最小值为 ;
【解决问题】
(4)如图,一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O,居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5km,右侧1km,右侧3km.A小区有居民1000人,B居民区有居民2000人,C居民区有居民3000人.现因防疫需要,需要在该公路上建一个核酸检测实验室P,用于接收这3个小区的全员核酸样本.若核酸样本的运输和包装成本为每千米1元/千份,那么实验室P建在何处才能使总运输和包装成本最低,最低成本是多少?试说明理由.
【变式1-1】(2022春?乳山市期末)已知数轴上的点A,B所对应的数分别为﹣2,6,点Q是数轴上的动点,且对应的数为x.
(1)点Q到点A和点B的距离和的最小值是 ;
(2)若点Q是线段AB的中点,则x的值是 ;
(3)若点Q到点A和点B的距离和是12,求x的值.
【变式1-2】(2023?富顺县校级一模)结合数轴与绝对值的知识回答下列问题:
(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ;表示﹣3和2两点之间的距离是 ;一般地,数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于 .
(2)如果|x+1|=3,那么x= ;
(3)若|a﹣3|=2,|b+2|=1,且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B,则A、B两点间的最大距离是 ,最小距离是 .
(4)利用数轴,找出所有符合条件的x,使|x+2|+|x﹣5|=10,则x= .
(5)已知(|x+1|+|x﹣2|)×(|y+1|+|y﹣2|)×(|z+1|+|z﹣3|)=36,求x+y+z的最大值和最小值.
【变式1-3】(2023?丰顺县校级开学)绝对值的几何意义:|x|表示一个数x在数轴上对应的点到原点的距离,|a﹣b|表示a、b两数在数轴上对应两点之间的距离.解决下列问题:
(1)若|x﹣1|=3,则x= ;
(2)直接写出|x﹣1|+|x|+|x+3|的最小值为 ;
(3)已知点P在数轴上对应的数是3,若a、b(a<b)两数在数轴上对应点A、B之间的距离为12,且它们到P的距离相等,则a= ,b= ;
(4)在(3)的条件下,点M从点A出发,以每秒1个单位的速度在数轴上运动,同时点N从点B出发,以每秒2个单位的速度在数轴上运动,设运动时间为t(秒),当运动到M,N两点之间距离为3时,求M、N两点分别对应的数.
【变式1-4】(2022秋?沙依巴克区校级期末)先阅读,后探究相关的问题
【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值,也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离;|5+2|可以看做|5﹣(﹣2)|,表示5与﹣2的差的绝对值,也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.
(1)如图,先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B,再把点A向左移动1.5个单位,得到点C,则点B和点C表示的数分别为 和 ,B,C两点间的距离是 ;
(2)若点A表示的整数为x,则当x为 时,|x+6|与|x﹣2|的值相等;
(3)要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是 .
【变式1-5】(2022秋?永兴县期末)对于有理数x,y,a,t,若|x﹣a|+|y﹣a|=t,则称x和y关于a的“美好关联数”为t,例如,|2﹣1|+|3﹣1|=3,则2和3关于1的“美好关联数”为3.
(1)﹣3和5关于2的“美好关联数”为 ;
(2)若x和2关于3的“美好关联数”为4,求x的值;
(3)若x0和x1关于1的“美好关联数”为1,x1和x2关于2的“美好关联数”为1,x2和x3关于3的“美好关联数”为1,…,x40和x41关于41的“美好关联数”为1,….
①x0+x1的最
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