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关于数学建模生物种群问题 第一页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 单种群模型 研究一个生物群体的数量或密度的变化规律 设 x(t)表示t时刻某范围内一种群体的数量或密度 ， 当数量 较大时 ， x(t)可以看作t的连续函数 ， 它只与出生 、死亡 、迁入 和迁出等因素有关 种群体的数量或密度变化的一般模型为 其中B(出生)、D(死亡)、 I(迁入)\E(迁出) 第二页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 1 、Multhus(马尔萨斯） 模型 模型假设： 人口的增长率是常数（单位时间的人口 增长量与当时的人口成正比） 模型构成： 设时刻t的人口为 x(t) ， 人口增长率为r x(t0)=x0 ， 则t到t+ t时间的人口增量为 设x(t)可微 ， 令 t 0, 得人口增长的马尔萨斯模型： 第三页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 模型检验： 马尔萨斯模型在19世纪以前的欧洲的 一些地区吻合很好 ， 但19世纪以后差异较大。 原因： 假设人口的增长率r是常数对人口少资源多 的情况是可以的 ， 但在资源一定时 ， 人口就不能 无限增长了 。做改进 ， 得另一人口增长模型 模型求解： 用解析方法可以得到解 x (t)=x0er (t-t0) , tt0 第四页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 2 、Logistic 模型（阻滞增长模型） 模型假设： 人口的增长率r是人口x(t)的函数r (x) ， 设为 线性函数 r (x)=r-sx s,r0 (r (x) ) 模型构成： 设x=xm 时 , xm称为环境容纳量， 增长率r (xm)=0,解得s=r/ xm ， 故 r (x)=r (1- x/ xm ) 代入得阻滞增长模型 第五页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 模型求解： 用解析方法可以得到解 第六页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 猪的最佳销售时机问题 ■ 一. 问题 ■ 一般从事猪的商业性饲养和销售总是希望获得利润 ， 因此 饲养某种猪是否获利 ， 怎样获得最大利润 ， 是饲养者必须 首先考虑的问题 。如果把饲养技术 、猪的类型等因素视为 不变的 ， 且不考虑市场的需求变化 ， 那么影响获利大小的 一个主要因素是如何选择猪的售出时机 ， 即何时把猪卖出 获利最大 。也许有人认为 ， 猪养得越大 ， 售出后获利越大。 其实不然 ， 因为随着猪的生长 ， 单位时间消耗的饲养费用 也就愈多 ， 但同时其体重的增长速度却不断下降 ， 所以饲 养时间过长是不合算的 。试作适当的假设 ， 引入相应的参 数 ， 建立猪的最佳销售时机的数学模型。 第七页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 预备知识 导数、微分方程组等基本知识。 盈亏平衡原理 在一个追求最大利润的经济活动中 ， 设X（t） 为t时刻保有某种具有 价值的对象所增加的价值 ， Y（t） 为保有者t时刻所支付的费用。 X（ t） 、Y（ t） 分别为随时间递减和递增的函数 ， 且X (t)Y (t) 。 保有者可以在某个时刻将保有对象出售以获得利润 ， 那么 保有者获得最大利润的出售时刻为盈亏平衡时刻t* ， 即时 刻t*满足表达式X (t*)=Y (t*) 。 第八页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 实验内容与要求 ■ 1 设猪开始进行商业性饲养时的时刻t=0， x0 为 t=0时的猪的体重 ， 即x(0)=x0,x(t)为一头猪 在t时刻 的体重 ， X为该品种猪的最大体重； y (t) 为一头猪t 时刻共消耗的饲养费用(包括饲养费 、饲养人员工资 等) ， y (0)=0,xs为猪可售出的最小体重， 即体重不超过 xs 的猪 ， 收购站不予收购 ， t为猪从重x0长至重xs所需的 时间； C(x)为猪的单位重量售价 ， C0为刚出生小猪的 单位价格。 第九页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 ■ 假设 ： ■ 1.本模型只对某一 品种猪进行讨论 ， 故设计猪 的性质的有关 参数均可视为固定的常数。 ■ 2. 由于开始进行商业性饲养时已具有一定体重 ， 所以可以假设猪的 体重增长的速度将不断减慢 。设反映猪体重增长速度的参数为a。 ■ 3. 由于猪的体重越大 ， 单位时间消耗的饲养费用就越多 ， 达 到最大体重后 ， 单位时间消耗的饲养费接近某一常数β 。设反 映饲养费用变化大小的参数为γ 。 ■ 4.通过调查C(x)随x的变化幅度并不大 ， 故可将C(x)视为常数 ， 设 其C。 第十页 ，共十六页 ，2022年 ，8月28日 问题分析与模型建立 ■ 由