算法对高中数学的渗透.doc

算法对高中数学的渗透 成都市高新实验中学? ? 张平福 《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数学课程其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。”新课程不仅开设算法初步专题，而且从内容上把算法融入数学课程的各个相关部分. 在高中数学课程中，解一元二次方程组、解二元线性方程组、解一元二次不等式、质数的判定、二分法、判定平面直角坐标系中直线与圆的位置关系、解三角形、求导数和定积分、建立线性回归方程等，都是算法的典型案例．由此可见，算法思想贯穿整个高中数学，算法的学习对整个高中数学的学习有着“源”与“流”的关系.在教学中，要体现数学与算法的有机结合，在学习相应内容的过程中，有意识地引导学生体会算法思想，使他们看到数学在算法设计中的作用，以及掌握算法思想对于提高数学能力的重要性。 一、在问题解决中强化算法意识、提升算法思想 算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有抽象性、概括性和精确性.在教学时尽量根据问题解决情景培养算法思想，以真正提高学生思维能力. 【例1】已知椭圆 的离心率为 ，试设计求 的算法程序框图. 算法分析：信息“椭圆 ”意味着 ，离心率 需定位方程中4和 哪一个是 . 可用条件结构表现“椭圆焦点在哪个坐标轴上”与“ 与4的大小”之间的依赖关系，即需判断 与4的大小，并据此设计算法，程序框图如下. 二、波利亚的“怎样解题表”是数学问题解决的普适性算法 按照波利亚的“怎样解题”表,解决数学问题的过程可以被分解为这样四个步骤： 第一，弄清问题；第二，拟定计划；第三，实现计划；第四，回顾.就这四个步骤而言，波利亚指出：“最糟糕的情况是：学生并没有理解问题就进行演算或作图.一般说来，在尚未看到主要联系或者尚未作出某种计划的情况下，去处理细节是毫无用处的”.作为新课程的践行者，数学教师需认真研读波利亚的“怎样解题”. 波利亚的“怎样解题”表 弄清问题 第一 你必须弄清问题 拟定计划 第二 找出已知数与未知数 之间的联系.如果找 不出直接的联系，你 可能不得不考虑辅助 问题. 你应该最终得出 一个求解的计划. 实现计划 第三 实现你的计划 回顾 第四 验算所得到的解 【例2】(2003年全国卷第21题)已知常数a0，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4a,O是AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且 ，P为GE与OF的交点（如图15），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由. 分析：本题高考四川省均分仅1.59，惨不忍睹！很多学生考后仍然心有余悸地说面对此题无从下手.此题果真就这样难吗？让我们听听高考场内完美解决了此题的同学谈的解题感受： 首先，这个问题虽然不好下手，但从问题情境看，它不是代数问题、不是立体几何问题，肯定是解析几何问题； 其次，既然这是解析几何问题，那就应该在坐标系环境下求解，因此要建立恰当的坐标系； 第三，给出的图形太对称了，有助于建立坐标系，不妨如下图建系； 第四，建立坐标系的目的是什么呢？当然从问题情境看可以设置点A、B、C、D、E、F、G、、O的坐标（事实上只需设元引参：设 =k，进而确定相关的点的坐标）； 第五，不妨回到问题中来：结论需要我们做什么呢？若存在两个定点使P到这两点的距离的和为定值的话，点P的轨迹不就是椭圆吗？因此问题的核心是求点P的轨迹方程; 第六，根据前面五点可知，只需建立直线OF和GE的方程，用交轨法解决即可. 我们在赞叹这位同学聪明机智的同时，更应该看到他思维过程中算法思想的影子.我们不妨用算法的框图来描述解决此问题的思维过程和逻辑关系如右. 事实上，上述框图中的前三步应该容易想到，并且有了前三步，想到第四步及以后的步骤就比较自然了. 解：如图建立直角坐标系，按题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a). 三、算法思想也是思想实验 【例3】(2002年全国卷文科22)给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明； （2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小. 分析：要求用正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，除了给出的标准答案外，其实还有一种更简单自然的方法（如右图）.这种做法应该更容易想到，所用知识更少.像这样的动手实践的问题，其实更需要学生在平时积累的直接经验，这也是新课程标准所强调的（即动手实践能力）. 而这一算法思想古人早就应用其解决实际问题。在《九章算术》中卷一“方田”第25题：今有圭田广十二