第02讲 圆-垂径定理（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）.docx

第02讲 圆-垂径定理 1.掌握垂径定理及其推论； 2.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明. 知识点1 垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论1：1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt 有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分 知识点2 垂径定理的应用 经常为未知数，结合方程于勾股定理解答 【题型1 运用垂径定理直接求线段的长度】 【典例1】（2023?南海区校级模拟）如图，线段CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，若AB长为16，OE长为6，则⊙O半径是（　　） ? A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：连接OA，如图， ∵CD⊥AB， ∴AE＝BE＝AB＝×16＝8， 在Rt△OAE中，OA＝＝＝10， 即⊙O半径为10． 故选：D． 【变式1-1】（2023春?开福区校级月考）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，OC⊥AB于点C，则OC的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝8， ∴， 在Rt△ABC中，OA＝5，AC＝4， 由勾股定理可得：． 故选：C． 【变式1-2】（澄城县期末）如图，⊙O中，OD⊥弦AB于点C，交⊙O于点D，OB＝13，AB＝24，则OC的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解答】解：∵OD⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝×24＝12， 在Rt△OBC中，OC＝＝5． 故选：B． 【变式1-3】（2023?宿州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若OE＝CE＝2，则BE的长为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解答】解：如图所示，连接OC， ∵OE＝CE＝2，弦CD⊥AB于点E， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴， ∴， 故选：B． 【题型2 垂径定理在格点中的运用】 【典例2】（2023?平遥县二模）如图所示，一圆弧过方格的格点AB，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（　　） A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1） 【答案】C 【解答】解：如图所示， 连接AC，作出AB、AC的垂直平分线，其交点即为圆心． ∵点A的坐标为（0，4）， ∴该圆弧所在圆的圆心坐标是（﹣1，1）． 故选：C． 【变式2-1】（2022秋?兴义市期中）如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（　　） A．（﹣5，﹣6） B．（﹣4，﹣5） C．（﹣6，﹣4） D．（﹣4，﹣6） 【答案】D 【解答】解：过A作AB⊥NM于B，连接AM， ∵AB过A， ∴MB＝NB， ∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9）， ∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5， ∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6， 由勾股定理得：AB＝＝4， ∴点A的坐标为（﹣4，﹣6）， 故选：D． 【变式2-2】（2022秋?西城区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过A（2，2），B（4，0），O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【解答】解：如图，连接OA，根据网格看作出线段OA，AB的中垂线，两条中垂线相交于点E，点E即为圆心． 故选：B． 【变式2-3】（2022秋?南开区校级期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标为（﹣3，5），B点的坐标为（1，5），C点的坐标为（4，2），则该圆弧所在圆的圆心坐标为 　（﹣1，0）　． 【答案】（﹣1，0）． 【解答】解：根据不共线三点确定一个圆，如图，AB，BC的垂直平分线的交点即为所求，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（﹣1，0）． 故答案为：（﹣1，0）． 【题型3 垂径定理与方程的综合应用】 【典例3】（2023?寻乌县一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径， ∴CO是△ABE的中位线， ∴EB＝2OC， 在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1， ∵AO2＝OC2+AC2， ∴x2＝（x﹣1）2+22， 解得：， 即，， ∴EB＝2OC＝3， 故选：B． 【变式3-1】（