时一道正方形考题的发散思考.pdfVIP

2011年第 4期 “希望杯 ”及其它数学竞赛 《数理天地》初 中版 对·迤重方形考题的攒敬忠警 高红霞 (宁夏回族 自治区中卫市沙坡头区宣和中学 755006) 例 1 如 图1，B，C，E是同 A 于是 BME 一 90。， 一 直 线 上 的 三 个 点 ，四边 形 故 BG上 DE． ABCD 与 四边形CEFG 都是正 对于 (2)，要证 一 ， 方形．连接 BG，DE． (1)猜想 BG与DE之 间的 图 1 只需证明 △GMN ∽ △EFN． 大小关系，并证 明你 的结论 ； 因为 GMN 一 EFN 一 90。， (2)图中是否存在通过旋转能够互相重合 GN A4 一 EN F ， 的两个三角形?若存在 ，请指 出，并说 出旋转过 所 以 △GMN CO△EFN， GN EN 程 ；若不存在 ，请说 明理 由． (2008年襄樊) h — 蚁 M——N 一雨 ‘ 分析 本题 以正方形为背景 ，主要考查正 不改变图 2的条件 ，只须将正方形 CEFG 方形的性质 、全等三角形的性质 ，判定以及图形 按顺时针方向旋转一定角度 ，并注以适 当字母 ， 变换等知识． 便得 2008年湖南怀化的一道中考试题． 解 (1)BG — DE． 例 3 如 图 3，四边 形 因为 四边形ABCD 和 CEFG都是正方形， ABCD、DEFG 都 是 正 方形 ， 所 以 GC— CE，BC— CD， 连接 AE、OG ，AE与CG相交 BCG 一 DCE 一 90。， 于点 M ，aG 与AD 相交于 点 所 以 △BCG △D E． ，＼，．求证 ： 于是 BG — DE． (])AE — OG ： 图3 (2)存在．△BCG绕点C顺时针旋转9O。后 (2)AN ·DN — CN ·MN ． (2008年怀化) 与 △DCE重合． 分析 证 明两条线段相等 ，可证 明三角形 不改变例 1中的条件 ，只对 图形稍做调整 ：如图2，设 DE与 全等 ；证明四条线段成比例 ，可证明这 四条线段 GF交于点 N ，延长 BG，交 DE 所在的两个三角形相似． 于点M ．于是可得 ： 证 明 (1)因为四边形ABCD和DEFG都 例