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3.1 高斯消去法
3.2 矩阵三角分解法
3.3 平方根法
3.4 向量和矩阵的范数
3.5 迭代法
3.6 迭代法的收敛性
3.7 方程组的形态和误差分析
第3章 线性代数方程组的数值解法
. 1
n个未知量n个方程的线性代数方程组
矩阵形式 Ax=b,其中
或写成
.
. 3
两类数值解法：
直接解法:假定计算过程没有舍入误差的情况下， 经过有限步算术运算后能求得线性方程组精确解的方 法。 经过有限步运算就能求得精确解的方法，但实际 计算中由于舍入误差的影响，这类方法也只能求得近 似解；例如： 高斯消去法、三角分解法等。
迭代解法: 构造适当的向量序列，用某种极限 过程去逐步逼近精确解。例如： 雅可比迭代法、 高斯 -赛德尔迭代法等。
4
.
上三 角形方程组
回代求解，得
5
.
6
.
下三角形方程组
顺代可求得
7
.
. 8
上二对角方程组
回代求解，得
9
.
10
.
下二对角方程组
顺代可求得
11
.
3.1 高斯消去法
3.1.1 顺序高斯消去法
(按方程和未知量的自然顺序进行)
基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为 上三角形方程组进行求解 。
求解 分成两步：
1.消元过程：用初等行变换将原方程组的系数矩阵 化为上三角形矩阵(简称上三角阵)。
2.回代过程：对上三角形方程组的最后一个方程求 解，将求得的解逐步往上一个方程代入求解。
. 12
顺序高斯消去法消元过程 :
依从左到右、自上而下的次序将主对角元下方的元素化为零。
1 不作行交换。
2 用不等于零的数乘某行，加至另一行。
13
.
. 14
. 15
主元为 2，2.5，0.6 det A = 2×2.5×0.6 = 3
系数行列式的计算：
消元过程
例
16
.
. 17
消元过程
. 18
. 19
回代过程
. 20
顺序高斯消去法的使用条件 使用条件之一
定理 线性方程组系数矩阵A的顺序主子矩 阵Ak (k=1,2,…,n)非奇异 ，则顺序高斯消去法能 实现方程组的求解。
即方程组能用顺序高斯消去法求解的充要条件 是系数行列式的顺序主子式非零 。
21
.
在原方程组的系数矩阵中如何反映出这个条件呢?
A的k阶顺序主子矩阵Ak 的行列式
高斯消去法能按顺序进行到底的充要条件是
. 22
一阶严格对角占优矩阵指一个非零数。
定理 方程组系数矩阵A为严格对角占优矩阵则可实现用
n 阶
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