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素养升级练 13 立体几何中的空间角问题
一、单选题
ABC A B C ACB 90 D E A B
1．（2021 ·河南洛阳·高三期中（理））在直三棱柱 中， . 、 分别是 、
1 1 1 1 1 1 1
A C 的中点，CA CB CC ，则AE 与BD 所成角的余弦值为（ ）
1 1 1 1 1
15 30 15 30
A． B． C． D．
15 15 10 10
【答案】D
【详解】
C CB CA x y z
以 为坐标原点，以 、 、CC 方向分别为 、 、 轴正方向，建立空间坐标系，
1
1 1 1
如图，设BC AC CC 1 ，B 1,0,0 , B 1,0,1 , A 0,1,0 , A 0,1,1 , D , ,1 , C 0,0,1 , E 0, ,1 ,
1 1 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1
则BD ( ，，，1) AE (0， ，1) ，
1 2 2 1 2
BD AE 30
所以cos BD ，AE 1 1 ，
1 1 BD AE 10
1 1
故选：D
ABCD A B C D O BD P
2．（2021 ·上海·复旦附中高三开学考试）在正方体 中，点 为线段 的中点. 设点
1 1 1 1
在线段CC 上，直线 OP 与平面A BD 所成的角为 ，则sin 的取值范围是（ ）
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