2023年高考数学一轮复习第七章立体几何与空间向量6空间向量的概念与运精品.pdf

空间向量的概念与运算 考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正 交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其 坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向 量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理． 知识梳理 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 (或平行向量) 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 a b b a b λ a (1)共线向量定理：对任意两个空间向量 ， ( ≠0)， ∥ 的充要条件是存在实数 ，使 ＝λb. a b p a b (2)共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是 x y p xa yb 存在唯一的有序实数对 ( ， )，使 ＝ ＋ . (3)空间向量基本定理 a b c p x y 如果三个向量 ， ， 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组( ， ， z p xa yb zc a b c )，使得 ＝ ＋ ＋ ，{ ， ， }叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 a b a b a b a b 非零向量 ， 的数量积 · ＝| || |cos 〈， 〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 a a a a b b b b 设 ＝( ， ， )， ＝( ， ， )． 1 2 3 1 2 3 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a b ＋a b ＋a b 1 1 2 2 3 3 1 a λb a λb a λb ＝ ＝ ， ＝ ， 共线 1 1 2 2 b λ a λb ( ≠0， ∈R) ＝ 3 3