高等代数北大第三版1。3课件.pptx

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§1.3 整除的概念 一 、 带余除法 二 、综合除法 三 、整除 一 、 带余除法 定理 对 一定存在 使 f(x)= q(x)g(x)+ r(x) 成立 , 其中 或 并且这样的 是唯一决定的 . 称 为 除 的商 , 为 除 的余式 . Proof:先证存在性 . ①若 则令 结论成立 . ②若 设 的次数分别为 当 时 , 显然取 即有 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 结论成立 . 下面讨论 的情形,对 作数学归纳法 . 次数为 0 时结论显然成立 . 假设对次数小于n的 ,结论已成立 . 现在来看次数为n的情形 . 设 的首项为 的首项为 则 与 首项相同 , 因而 , 多项式 f(x)=f(x)-b-1axg(x) 的次数小于n或f1为0 . 若 令 若 由归纳假设 , 存在 使得 即可 . 即有 使 f(x)=q(x)g(x)+r(x) 成立 . 由归纳法原理 , 对 的存在性得证 . 其中 或者 于是 再证唯一性 . 若同时有 其中 和 其中 则 即 矛盾 . 从而 但 所以 唯一性得证 . @(s(x)) 若 的商式 可按下列计算格式求得: 这里 , b 1=a1+abhd, b2=a2+ab1,… 二 、综合除法 则 和余式 +) 除 Remark: 综合除法用于 ①求一次多项式 去除 的商式及余式 . ②把 表成 的方幂和 , 即表成 f(x)=c+c(x-a)+c2(x-a)2+… 的形式 . 例1. 求 除 的商式和余式 f(x)=x3-x2-x ,g(x)=x-1+2i 1 -2i -5-2i -9+8i - 1 0 解 : 由 1 +) - 1 有 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1= 4 6 1 3 1 6 4 10= 1 4 1 10= 1 5= 解 : ∵ 1 1 1 1 1 : x5=(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+ 例 2 . 把 表成 的方幂和 . 1 4 2 1 1 2 3 3 1 3 5= 1 1 1 1 2 . 说明 ① 时 , 称 为 的因式, 为 的倍式 . ② 不能整除 时记作: 设 若存在 f(x)=g(x)h(x) 使 则称 整除 记作 三 、整除 1. 定义 , 此时有 。= 0h(x),h(x)ep[x] 零多项式整除零多项式 , 有意义 . 除数为零 , 无意义 . 时 , 如果 则 除 ③ 允许 即 区别:{ ④ 当 所得的商可表成 3 . 整除的判定 定理1 即 , 任一多项式整除它自身; 零多项式能被任一多项式整除; 零次多项式整除任一多项式 . 2) 若 , 则 时 , 与 有相同的因式和倍式 . 有 有 4 . 整除的性质 1) 对 对 3) 若 则 f(x)=cg(x), c丰 。. 证: f(x)lg(x 使得 s(x)lf(x) 使得 若 则 g(x)=0, 若 则 皆为非空常数 . 成立 . (整除关系的传递性) 故有 4) 若 5) 若 则对 有 f(x)l(1(x)g1(x)+u2

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