参数估计理论与应用第三章详解演示文稿.pptVIP

第三章 参数估计理论与应用 将上式代入式（3.2.9），略去与τ无关的量T/N (ωn)。因 此，选择τ使式（3.2.9）最大，等价于使下式 （3.2.11） 最大。现引入记号 在此将 X(ωn，τ) 视为某时间函数 x(t, τ)在时间（t-T，t） 内 的傅立叶系数。将上述替换量代入式（3.2.11）后，再应 用 周期函数的 Parseval 公式，就有 本文档共72页；当前第30页；编辑于星期六\0点36分 第三章 参数估计理论与应用 略去无关紧要的常数项1/2，计算 z(x, τ) 的结构如图3-4所 示。调节时延τ，使输出 z(x, τ)达到最大，相应的时延就 是 真实时延的ML估计 ML。 根据ML估计的传递性，由式（3.2.6）可得真实方位的 ML估计 （3.2.12） xH0(t) z(x,τ) ∑ x1(t) x2(t) H0(ω) (·)2 图3-4 二元阵最大似然测向系统 exp(-jωτ) 本文档共72页；当前第31页；编辑于星期六\0点36分 第三章 参数估计理论与应用 二元阵最大似然测向系统与二元阵似然比检测系统具有 完全相同的结构。这是因为：在 H1 情况下， p(X | τ) 等价 于 p(X | H1)，后者也可看作是时延参数τ的函数；而在 H0 情况下，p(X | H0) 与τ无关。因此，选取τ 使似然函数最 大，也就是使似然比 p(X | H1)/ p(X | H0) 最大。由此可见，检测问题与参数估计问题是密切相关。 顺便指出，可用测向测距近似公式 （3.2.13） 构成最大似然联合测向测距系统。其中，di 表示第i 个传 感器与“基准” 传感器位置的间距；D 表示目标与“基准” 传 感器位置之间的距离。 本文档共72页；当前第32页；编辑于星期六\0点36分 第三章 参数估计理论与应用 3.3 基于模型的参数最小二乘估计 最小二乘法（Least square method，LS）是一种不需要 任何先验知识的参数估计方法。在被测系统的静态（稳态） 模型和动态模型的参数辨识中，最小二乘法是最常用的参数 估计方法，在测控技术领域获得了广泛的应用。 3.3.1 最小二乘估计器及其统计特性 在一般的最小二乘问题中，线性系统的参数化模型可以 表示为 (3.3.1) 其中，u=[u1,…,up]T 是模型的输入向量，f1,…,fn 是u 的已知 函数，也可以是未知输入的观测数据； θ1, …,θn 是待估计 本文档共72页；当前第33页；编辑于星期六\0点36分 第三章 参数估计理论与应用 的参数，又称为回归系数； y 是系统的输出。 当 f1,…,fn 是u 的稳态响应状态或是实测的确定性变量， 且 y 是系统的稳态输出，则称式(3.3.1)是描述线性系统的 静态模型；当 y 是u 的动态响应或瞬态观测数据，那末式 (3.3.1)就是描述线性系统的动态模型。 为了估计未知参数θi, 必须做实验来获得数据对{[u i yi] 或 [fk (u i) yi], i=1,2,…,N, k=1,2,…,n；N ≥ n} 以构成训练数 据。将数据对代入方程 (3.3.1)，可以获得一组线性方程： 用矩阵表示方法，将上式写成更简洁的形式，即 本文档共72页；当前第34页；编辑于星期六\0点36分 第三章 参数估计理论与应用 (3.3.2) 其中 为了唯一地识别出未知参数，通常要求 N n，即数据 对的数目多于拟合参数的数目。满足所有 N 个方程的精确解 是不可能的，因为观测数据难免受到噪声的污染，或者描述 系统的参数化数学模型不够精确。故必须考虑随机噪声或建 模误差，在方程(3.3.2)中引入随机误差向量e，得到 (3.3.3) 本文档共72页；当前第35页；编辑于星期六\0点36分 第三章 参数估计理论与应用 参数θ的最小二乘估计 LS ，就是使目标函数 (3.3.4) 达到最小值的参数估计。为此，通常都采用求极值的方法。 将式(3.3.4)展开后，得到 对θ 求导数，有 J 极小化的条件是 一般均假设ΦTΦ非奇异，于是，LS 有唯一的解： 本文档共72页；当前第36页；编辑于星期六\0点36分 第三章 参数估计理论与应用 () 式中Φ+表示Φ的伪逆。 上述表示误差向量对整体平方误差有相同权重。可以进 一步扩展，令每个误差项有不同的权重。设W 为所需的权值 矩阵，它是对称和正定的，则加权的目标函数为 (3.3.6) 按上述求极小值的方法，可得加权的最小二乘估计量： (3.3.7) 显然，当W 选为单位矩阵时， WLS