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二阶常微分方程边值问题 PAGE 9 课程名称： 数值代数课程设计 指导教师： 刘兰冬 班级： 姓名： 学号： 实验项目名称： 二阶常微分方程边值问题 实验目的及要求： 二阶常微分方程边值问题 ， （该问题真解为：）步长h自己选定，利用差分法求出近似解，利用MATLAB函数画出比较图形。 数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。 有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。 二、二阶常微分方程 二阶常微分方程一般可表示成如下的形式： ， (2.1) 边值条件有如下三类[9]： 第一类边值条件 ， (2.2) 第二类边值条件 ， (2.3) 第三类边值条件[19] ， (2.4) 其中， ， ， 。 在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。 定理：设方程(2.1)中的函数及，在区域 内连续，并且 (ⅰ) ； (ⅱ) 在内有界，即存在常数，使得 ， ， 则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。 我们假设函数可以简单地表示成 ， 即边值问题(2.1)-(2.2)为具有如下形式的二阶线性边值问题 (2.5) 三、有限差分法： 有限差分方法是用于微分方程定解问题求解的最广泛的数值方法，其基本思想是用离散的、只含有有限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的微分方程和定解条件，并把相应的差分方程的解作为微分方程定解问题的近似解。 有限差分逼近的相关概念 设函数光滑，且，利用Taylor展开，可得 (2.19) (2.20) 由(2.19)可以得到一阶导数的表达式 (2.21a) 或者 (2.21b) 同理由(2.20)式可得 (2.22a) 或者 (2.22b) 其中表示截断误差项.因此，可得一阶导数的的差分近似表达式为 (2.23) (2.24) 由(2.21)和(2.22)可知，差商(2.23)和(2.24)逼近微商的精度为一阶，即为，为了得到更精确的差分表达式，将(2.19)减(2.20)可得 (2.25) 从而可以的到 (2.26a) 或者 (2.26b) 其中，. 可得一阶导数的差分近似表达式为 (2.27) 由此可知，(2.16)差商逼近微商的精度为二阶，即为。 类似地，我们还可以给出二阶微商和高阶微商的差分近似表达式。例如将(2.19)和(2.20)两式相加可得 进而有 (2.28) 其中. 因此，二阶导数的差分近似表达式[8]为 (2.29) 实验内容（方法和步骤）： 差分法代码如下 clc; clear all h=0.05; %x属于【a,b】 a=-1;b=1; x=a:h:b; n=length(x); %定义y syms y; y=(((x+2).*(x+2)).^(-1)); hold on grid on yx=zeros(1,n); yxx=zeros(1,n); for i=2:n-1 yx(i-1)=(y(i+1)-y(i-1))/(2*h); yxx(i-1)=(y(i+1)+y(i-1)-2*y(i))/h^2; end plot(x,y,r,linewidth,2) plot(x(2:n-1),yx(1:n-2),g,linewidth,2); p