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高 等 数 学 同 济 版 ( 下 册 ) 期 末 考 试 试 卷 ( 一 )
一、填空题(每小题 3 分,共计 24 分)
1、 z = log (x 2
a
y 2 )(a ? 0) 的定义域为 D=。
2、二重积分
?? ln(x 2
y 2 )dxdy 的符号为。
|x|?| y|?1
3、由曲线 y ? ln x 及直线 x ? y ? e ? 1, y ? 1 所围图形的面积用二重积分表示为,其值为。
?x ? ?(t)
?4、设曲线 L 的参数方程表示为? y ?? (t)
?
(? ? x ? ? ), 则弧长元素ds ? 。
5、设曲面∑为 x 2
y 2
? 9 介于 z ? 0 及 z ? 3 间的部分的外侧,则??(x 2
?
y 2
? 1)ds ? 。
?dy
?
6、微分方程
y ? tan
y
的通解为。
7、方程 y (4)
8、级数??
dx x x
4 y ? 0 的通解为。
1
的和为。
n?1
n(n ? 1)
二、选择题(每小题 2 分,共计 16 分)
1、二元函数 z ? f (x, y) 在(x , y ) 处可微的充分条件是()
0 0
f (x, y) 在(x , y ) 处连续;
0 0
f ?(x, y) , f ?(x, y) 在(x , y
) 的某邻域内存在;
(?x
(?x)2 ? (?y)2
?z ? f ?(x , y
x 0 0
0 0
)?x ? f ?(x , y
y 0 0
)?y 当
? 0 时,是无穷小;
lim
?x?0
?y?0
?z ? f ?(x , y
(?x)
(?x)2 ? (?y)2
)?x ? f ?(x , y
y 0 0
)?y
? 0 。
y ? 2u ? 2u
2、设u ? yf ( ) ? xf ( ), 其中 f 具有二阶连续导数,则x
x ?x 2
(A) x ? y ;(B) x ;(C) y ;(D)0。
y ?y 2
等于()
3、设? : x 2
y 2
z 2
? 1, z ? 0, 则三重积分 I ?
??? zdV 等于()
?
? ?d??
? ?
d?
? ? d?? 1 r sin ?
3
cos?dr ? ? d? ? ? d?? 1 r sin ?dr
;(B) 2 2 ;
0
0
0
0
0
0
C ? 2? d? ? ? d?? 1 r 3 sin? cos?dr D ? 2? d? ? ? d?? 1r sin? cos?dr
3
( ) 2
0 0 0
;( ) 。
0 0 0
()24? ? d? ?
(
)
2
4? ? d? ? 2a cos
? 4a 2 ? r 2 dr B 4? d? ? 2a cos? r 4a ? r dr
?
;( ) 2 2 2
0
0
0
0
y 2
z 2
? 4a 2 与柱面 x 2
y 2
? 2ax 所围成的立体体积V=()
;
;
8? ? d? ? 2a cos? r 4a 2
r 2 dr
? ? d? ? 2a cos? r 4a ? r dr
2 2
( ) 2
0 0
;( ) 2 。
?? 0
2
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线 L 所围成,L 取正向,函数 P(x, y), Q(x, y) 在D 上具有一阶连续偏导
数,则? Pdx ? Qdy ? ( )
L
(A) ??( ?P
? ?Q )dxdy ;(B) ??( ?Q
?P )dxdy ;
?y ?x ?y ?x
D D
(C) ??( ?P ?
?Q )dxdy ;(D) ??( ?Q ?
?P )dxdy 。
?x ?y ?x ?y
D D
6、下列说法中错误的是()
(A)
方程 xy ? ? 2 y ? ? x 2 y ? 0 是三阶微分方程;
(B)
方程 y dy ? x dy
? y sin x 是一阶微分方程;
dx dx
(C)
方程(x 2
? 2xy 3 )dx ? ( y 2
3x 2 y 2 )dy ? 0 是全微分方程;
(D)
方程 dy ? x ?
2 y
是伯努利方程。
1dx 2 x
1
7、已知曲线 y ? y(x) 经过原点,且在原点处的切线与直线2x ? y ? 6 ? 0 平行,而 y(x) 满足微分方程
y ? ? 2 y? ? 5 y ? 0 ,则曲线的方程为 y ?()
(A) ? ex sin 2x ;(B) e x (sin 2x ? cos 2x) ;
(C) e x (cos 2x ? sin 2x) ;(D) ex sin 2x 。
8、设lim nu
n?? n
? 0 ,则??
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