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二次函数背景下的
特殊图形存在性问题-矩形
北师大版初三数学
执教教师:
工作单位:
(1)求该抛物线的解析式;
( 2 ) 点M 是(1)中抛物线上一点,点G 是平面内一点,若以M、G、 B、C为顶点的四边形是以BC 为边的矩形,求出此时点G 的坐标.
如图,抛物线y=-x²+bx+c 坐标原点
与x轴交与A(1,0),B(-3,0) 两点, O为
问题呈现
解:(1)将A(1,0),B(-3,0)代入到 y=-x²+bx+c 中得:
解得
∴该抛物线的解析式为:
y=-x²-2x+3
步骤演示:
思考1:矩 形(多边形)的存在性问题如何入手?
策略:转化为直角三角形(三角形)存在性问题
思考2:如何解决直角三角形的存在性问题?
策略:构造三垂直模型或者k₁×k₂=-1
策略分析
( 2 ) 点M 是(1)中抛物线上一点,点G 是平面内一点,若以M、G、 B、C为顶点的四边形是以BC 为边的矩形,求出此时点G 的坐标.
策略分析
( 2 ) 点M 是(1)中抛物线上一点,点G 是平面内一点,若以M、G、 B、C为顶点的四边形是以BC 为边的矩形,求出此时点G 的坐标.
分类讨论:(直角位置)
①以点C为直角顶点,即以BC为边,BM为对角线
②以点B为直角顶点,即以BC为边,CM 为对角线
-m²-2m+3)
)M N
C
(0,3)
O
(0,0)
的-
-m32m=
m₁=-1,m₂=0 (舍)
策略分析
①以点C为直角顶点
(0,
(m,-m²-2m+3
思路梳理:
△CNM~△BOC
B
X(-3,0)
(m,-m²-2m+3)
M
策略分析
-3,-m²-2m+3 )Q
(-3,0) B
A(1, `Q)
C(0,3)
(-3,3)P
Q
(
过程解析
解:(2)①以点C为直角顶点,
过点M 作MN⊥y 轴交y轴于点N,
由(1)知C(0,3),设M(m,-m²-2m+3),G(xo,yo) ·.矩形对角线互相平分
解得m1=-1,m₂=0 (舍) ∴G(-4,1)
∴G(-3+m,-m²-2m)
又∵△CNM~△BOC
解得
过程解析
解:(2)②以点B为直角顶点
过点B作PQly 轴,过点C,M作CP⊥PQ,MQ⊥PQ, 垂足分别为P,Q
由(1)知C(0,3),设M(m,-m²-2m+3),G(xo,yo) ·.矩形对角线互相平分
解得 ∴G(m+3,-m²-2m+6)
又∵△CPB~△BQM
艮 解得m₃=2,m₄=-3 (舍)
∴G(5,-2)
。
(1)求该抛物线的解析式;
( 2 ) 点M 是(1)中抛物线上一点,点 G是平面内一点,若以M、G、 B 、C为顶点的四边形 以BC 遇矩形矩形 求出此时点G 的坐标.
如图,抛物线y=-x²+bx+c 坐标原点
与x轴交与A(1,0),B(-3,0) 两 点 ,O为
变式训练
分类讨论:(直角位置)
①以点C为直角顶点,即以BC为边,BM为对角线
②以点B为直角顶点,即以BC为边,CM 为对角线
③以点M为直角顶点,即以BC为对角线
策略分析
( 2 ) 点M 是(1)中抛物线上一点,点G是平面内一点,若以M、G、 B、C为顶点的四边形是矩形,求出此时点G的坐标.
策略分析
解:(2)③以M为直角顶点
过点M 作PQ//x轴,过点B,C 作BP⊥PQ,CQ⊥PQ, 垂 足分别为P,Q
由(1)知C(0,3),设M(m,-m²-2m+3),G(xo,yo) ·矩形对角线互相平分
∴G(-m-3,m²+2m)
又∵△BPM~△MQC
过程解析
解得
一般情况:
转化
多边形
特殊情况:
特殊平行
四边形
解决策略:
三垂直模型
三角形
矩形
k₁×k₂=-1
总结提升
直角三角形
转化
再见
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