高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程.docx

PAGE PAGE 7 / 9 曲线的极坐标方程． 极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点 O 引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向 (通常取逆时针方向为正方向 )，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴． 极坐标(ρ，θ)的含义：设 M 是平面上任一点，ρ表示 OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点 M 的极坐标．显然， 每一个有序实数对(ρ，θ)，决定一个点的位置．其中 ρ 称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的． 曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上的任意一点的极坐标满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0 的点都在曲线C 上，那么方程f(ρ，θ)＝0 叫做曲线C 的极坐标方程． 直线的极坐标方程． 过极点且与极轴成φ 0 角的直线方程是θ＝φ 0 和 θ＝π－φ ，如下图所示． 0 与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是 ρcos θ＝a，如下图所示． 与极轴平行且在x 轴的上方，与 x 轴的距离为a 的直线的极坐标方程为ρsin θ＝ a，如下图所示． 圆的极坐标方程． 以极点为圆心，半径为r 的圆的方程为ρ＝r，如图 1 所示． 圆心在极轴上且过极点，半径为r 的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图 2 所示． π 圆心在过极点且与极轴成 2 的射线上，过极点且半径为r 的圆的方程为ρ2rsin_θ， 如图 3 所示． 极坐标与直角坐标的互化． 若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内任意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x，y)的公式如下： ??x＝ρcos θ， y ? 或者ρ＝ x2＋y2，tan θ＝ ， ??y＝ρsin θ x 其中要结合点所在的象限确定角θ 的值． 曲线的参数方程的定义． 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x，y 都是某个变数 t 的函数，即 ??x＝f（t）， ? 并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上， ??y＝g（t）， 那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数． 常见曲线的参数方程． 过定点P(x ，y )，倾斜角为α 的直线： 0 0 ??x＝x ＋tcos α， ? 0 (t 为参数)， 0??y＝y ＋tsin α 0 其中参数t 是以定点P(x ，y )为起点，点M(x，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称 0 0 为点 P 与点M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论： ①设 A，B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t 和 t ，则|AB|＝|t －t |＝ （t （t ＋t ）2－4t ·t ； B A A B t ＋t ②线段AB 的中点所对应的参数值等于 A 2 B. 中心在P(x ，y )，半径等于r 的圆： 0 0 ??x＝x ＋rcos θ， ? 0 (θ 为参数) 0??y＝y ＋rsin θ 0 中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆： ??x＝acos θ， ? ??x＝bcos θ，? ? (θ 为参数)?或? ?. ??y＝bsin θ ? ??y＝asin θ ? ??x＝x ＋acos α， 0中心在点P(x ，y )，焦点在平行于 x 轴的直线上的椭圆的参数方程为? 0 0 0 0 (α 为参数)． ??y＝y ＋bsin α 中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线： ??x＝asec θ， ? ??x＝btan θ，? ? (θ 为参数)?或? ?. ??y＝btan θ ? ??y＝asec θ ? 顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线： ??x＝2p， ? (t 为参数，p0)． ??y＝2p 1 注：sec θ＝ . cos θ 参数方程化为普通方程． 由参数方程化为普通方程就是要消去参数，消参数时常常采用代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要注意参数的取值范围对x，y 的限制． ?? 5π?? 已知点A 的极坐标为?4， 3 ?，则点A 的直角坐标是(2，－2 3)． ?? π?? 把点P 的直角坐标( 6，－ 2)化为极坐标，结果为?2 2，－ 6 ?． 曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4． ?? π?? ?? π?? 以极坐标系中的