指数函数与对数函数基本知识点.doc

对数的公理化定义 　　真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零， 　　底数则要大于0且不为1 　　对数函数的底数为什么要大于0且不为1？ 　　【在一个普通对数式里 a0,或=1 的时候是会有相应b的值的。但是，根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4，另一个等于-4）】 　　通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN。另外，在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系： 　　当a 〉0，a≠ 1时，a^x=N→X=logaN。 　　由指数函数与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论： 　　负数和零没有对数； 　　loga 1=0 loga a=1 (a为常数) 对数的定义和运算性质 　　一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 　　底数则要＞0且≠1 真数＞0 对数的运算性质： 　　当a0且a≠1时,M0,N0，那么： 　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R） 　　（4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b≠1） 　　(5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明： 　　设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a) 　　(6)对数恒等式：a^log（a)N=N; 　　log（a）a^b=b 　　（7）由幂的对数的运算性质可得(推导公式) 　　1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 　　2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M 　　3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M 　　4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M , 　　log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(m/n)log(a)M 　　5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1 对数与指数之间的关系 　　当a0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N 对数函数 　　右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 　　可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。 　　（1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合。 　　（2） 对数函数的 值域为全部实数集合。 　　（3） 函数图像总是通过（1，0）点。 　　（4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调减函数，并且下凹。 　　（5） 显然对数函数无界。 　　对数函数的常用简略表达方式： 　　（1）log(a)(b)=log(a)(b) 　　（2）lg(b)=log(10)(b) 　　（3）ln(b)=log(e)(b) 　　对数函数的运算性质： 　　如果a〉0，且a不等于1,M0,N0，那么： 　　（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 　　（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 　　（3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R） 　　（4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 　　对数与指数之间的关系 　　当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N=x 　　log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 　　换底公式 （很重要） 　　log(a)(