chapter2_1现代数字信号处理北邮chapter2_1现代数字信号处理北邮.pptx

第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波;2.1 引 言;1、最优滤波;图 2.1.1 信号处理的一般模型;最优准则： 最大输出信噪比准则－匹配滤波器 最小均方误差准则 误差绝对值的期望值最小 误差绝对值的三次或高次幂的期望值最小;x(n)=s(n)+v(n);2、维纳滤波和卡尔曼滤波简介;3、本章讨论的主要内容;2.2 离散维纳滤波器的时域解;1、本节要解决的主要问题及方法;2、 维纳滤波器时域求解的方法;k=0, 1, 2, …;上式展开为;将上述4式代入得;分析：上式说明，若使滤波器的均方误差达到最小，则误差 信号与输入信号正交，这就是通常所说的正交性原理。;正交性原理的重要意义：提供了一个数学方法，用以判 断线性滤波系统是否工作于最佳状态。;正交性原理的引理：最佳状态时，由滤波器输出定义的期望响应的估计yopt(n)与估计误差eopt(n)正交：;3、 维纳—霍夫方程;4、FIR维纳滤波器的时域解;把k的取值代入(2.2.21)式， 得到;定义;（2.2.22）式可以写成矩阵形式， 即;FIR维纳滤波器的估计误差的均方值 假定所研究的信号都是零均值的，滤波器为FIR型，长度等于M，;;例1 假设有一实的广义平稳随机信号s(n)的自相关函数（序列）;解：已知;由此，M=2最佳FIR维纳滤波器如下：;或者，利用下式求解 k=0, 1 当k=0时，2h0+0.6h1＝1 当k=1时，0.6h0+2 h1＝0.6;估计该滤波器的输出误差的最小均方值：;2.3 离散维纳滤波器的z域解;1、本节要解决的主要问题及方法;若不考虑滤波器的因果性，维纳－霍夫方程可以改写为;对于因果IIR维纳滤波器，其维纳－霍夫方程为 k=0, 1, 2, … √ 因为存在k≥0的约束，使得上式不能直接转到Z域求解。如有可能将其转化为非因果问题，则求解会大大简化。;如果滤波器的输入是白噪声，即x(n)= w(n)，w(n)是方差为的白噪声，由于 则因果IIR维纳滤波器的维纳－霍夫方程变为： k=0, 1, 2, … k=0, 1, 2, … √ 由此可见，只要将输入信号转化为白噪声，就可以解得因果 IIR维纳滤波器的单位脉冲响应。;2、白化滤波器;一般把信号转化为白噪声的过程称为白化，对应的滤波器称为白化滤波器。;利用白化x(n)的方法求解维纳-霍夫方程;√于是，在最小均方误差准则下，求最佳Hopt(z)的问题就归结 为求最佳G(z)的问题了。G(z)当然也需分因果性或非因果性的约束情况加以讨论。;计算Hopt (z)：;(2.3.9);求满足最小均方误差条件下的g(k)： 为求得相对于g(k)的最小均方误差值，令 -∞＜k＜∞ -∞＜k＜∞;非因果IIR维纳滤波器的最佳解：;非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解的一般表达式;信号和噪声不相关时，非因果IIR维纳滤波器的复频域最佳解和频率响应分别为;由上式可知： √ 当噪声为0时，Hopt=1，信号全部通过； √ 当信号为0时， Hopt=0，噪声全部被抑制掉； √ 当既有信号又有噪声时， Hopt1，大小随Pvv的增加而减小，从而达到降低噪声影响的目的。 Pss(ejω)≠0, Pvv(ejω)=0 Pss(ejω)≠0, Pvv(ejω) ≠ 0 Pss(ejω)=0, Pvv(ejω) ≠ 0;图 2.3.6 非因果维纳滤波器的传输函数的幅频特性;计算最小均方误差E［|e(n)|2］min：;√ 第二项由帕塞伐尔定理：;假定信号与噪声不相关，E［s(n)v(n)］=0，又因为实信号的自相关函数是偶函数，即rss(m)=rss(-m)，则 Sxs(z)=Sss(z) ，Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)； Sss(z)=Sss(z-1);4、 因果IIR维纳滤波器的求解;要使均方误差取得最小值， 当且仅当;因果维纳滤波器的复频域最佳解为;维纳滤波的最小均方误差为;非因果情况时，滤波器的最小均方误差为;因果维纳滤波器设计的一般方法：;例 2.3.1 已知;考虑到B(z)必须是因果稳定的系统，得到;取其因果部分;取单位圆为积分围线，上式等于单位圆内的极点的留数之和，即;未经滤波器的均方误差;(2)、 对于非物理可实现情况有;令;维纳滤波部分的总结：;2.4 维 纳 预 测;1、本节讨论的主要问题及方法;图2.4.1(b);2、预测的可能性; x(n)在各不同时间点上的值的相关性是起因于B(z)的惯性。 由观测到的x(n)的所有过去值和当前值来估计将来值 时：;随机信号预测的特点： √ 以信号的统计特性作为预测的主要依据； √ 不可能作预测误差为零的绝对精确的预测； √ 实际信号通常带有噪声干扰，使得预测和 滤波联系在一起，成为带滤波的预测。;3、 维纳预测的计