《黎曼曲面研究》1700字.docxVIP

黎曼曲面研究 前言 在学习微积分的过程中，可以求出所有的初等函数的导数，但是反过来进行逆运算—积分的时候，却不可能求出所有初等函数的积分。数学家斯皮瓦克在其撰写的极其优秀的教材《微积分》的末尾曾经这样写道:“用初等函数表示某些函数的积分的不可能性，乃是数学中最秘密的课题之一”近现代数学发展的历史表明，对这个“最秘密”课题的深入探究最终将人们引向了以黎曼曲面理论为代表的一大批现代数学的优美理论。 一、黎曼曲面的引入 对于阿贝尔积分和椭圆函数，尽管取得了上述显著成就，但总体而言，在19世纪上半叶的微积分时代，阿贝尔积分和椭圆函数的理论仍然笼罩在繁琐运算的迷雾中，人们仍然看不到计算公式背后的几何真理，尤其是复变函数固有的多值性，一直困扰着数学家。此外，与代数曲线上亚纯函数的空间维数有关的一些结论（如欧拉关于公式（10）不适用于五次和六次多项式的结论）也需要进一步澄清和解释。如果没有19世纪伟大数学家黎曼的出现，阿贝尔积分的进一步研究可能会因为太复杂而停止。说到黎曼，人们最熟悉的是他描述曲线空间的黎曼几何和现代数论中最重要的黎曼猜想。在黎曼曲面的一系列重要数学创造中，对黎曼曲面和阿贝尔积分理论的研究可能是最不了解的。表面上，阿贝尔积分似乎是一门纯粹的分析学科，但实际上，它是一门真正的几何学科，但它更隐蔽。历史上，从几何角度研究阿贝尔积分始于黎曼。1851年，他在一篇关于复函数的基础论文中首次提出了黎曼曲面的概念。他认为，复变函数不应该只定义在通常平坦（高斯）的复平面上，而应该定义在可以“扩展到多片叶子”的表面上。因此，Riemann为每个多值复代数函数（由代数曲线（12）确定）构造一个曲面，以替换通常的复平面，从而在这个新曲面上，原始多值代数函数成为易于处理的单值函数。这个曲面就是著名的黎曼曲面。 二、黎曼曲面的深远影响 黎曼曲面理论的重要历史意义在于，它与20世纪大量新的数学研究领域的形成密切相关。因此，它在现代数学发展史上起着重要而关键的作用。这些受影响的现代数学分支包括代数几何、数论、代数拓扑学、多重重复分析、全局微分几何和偏微分方程。黎曼1851年的博士论文《复变函数论的基础》，奠定了复变函数论的基础。他推广了单位解析函数到多位解析函数；引入了“黎曼曲面”的重要概念，确立了复变因数的几何理论基础；证明了保角映射基本定理。例如，对于代数几何，黎曼曲面方法实际上首次将分析和拓扑方法引入到代数簇的研究中。相反，这种方法自然促进了全局微分几何、代数拓扑学和多重重复分析理论的诞生和发展。特别是从黎曼曲面的概念开始，微分流形的精确定义逐渐扩展，为20世纪几何学和拓扑学的研究建立了最大的平台。由黎曼曲面理论导出的微分形式语言也已成为现代几何的基本语言。20世纪初，向量场语言主要用于微分几何。使用了太多的张量索引，这严重模糊了流形的内部几何意义。为此，法国数学家E·加德创造了移动框架法，试图用微分形式的语言取代向量场的语言。随后，E.jiadang的学生兼几何大师陈胜申先生全心全意地使用并推广了这种方法。最后，在20世纪中叶，他改变了整体微分几何的语言，发现流形的几何不变量和拓扑不变量可以直接从微分形式中获得，从而建立了分析与几何拓扑之间的深刻关系。微分形式最终以层理论的形式应用于现代代数几何。 三、结语 黎曼曲面理论已经成为我们理解现代数学的一把真正的金钥匙。鉴于黎曼工作的极端重要性，代顿在其《代数几何史》一书的整整一章中介绍了黎曼关于阿贝尔积分和黎曼曲面理论的工作。黎曼似乎预见到了数学的本质统一性，“他另外两项杰出的研究成果是基于几何和zeta函数的研究。事实上，自1920年以来，他为现代代数几何的研究开辟了一片新天地。现在我们确实看到了从黎曼几何中的曲率张量，到密切相关的复几何和拓扑理论，再到以黎曼连接为代表的数论研究的确，zeta函数的零分布已经被证明，所有这些都与黎曼曲面理论有关。从黎曼曲面理论发展而来的现代代数几何是完全结合在一起的。今天，毫不夸张地说，现代数学仍在莱曼思想的光辉中前进。 参考文献： [1] 洪梦龙, 曹廷彬. 从圆环到紧黎曼曲面上全纯映射的第二基本定理[J]. 南昌大学学报：理科版, 2018, 42(1):8. [2] 陈跃. 从积不出来的积分到黎曼曲面理论[J]. 高等数学研究, 2015, 018(001):118-126. [3] 梅加强. 黎曼曲面导引[M]. 北京大学出版社, 2013. [4] 梅加强. 黎曼曲面讲义[M]. 北京大学出版社, 2013.