2008全国高中数学联赛一试试题 .pdf

2008 年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（A 卷） 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6 分和0 分两档，填空题只设9 分和0 分两档；其他 各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次． 2 ．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划 分档次评分，解答题中5 分为一个档次，不要增加其他中间档次． 一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分） 5 4x x 2 1．函数f (x )  在(, 2) 上的最小值是 （C ） 2 x A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 [解] 当x 2 时，2 x 0 ，因此f (x) 1(4 4x x 2 )  1 (2 x) 2  1 (2 x) 2 x 2 x 2 x 2 ，当且仅当 1 2 x 时上式取等号．而此方程有解x 1(,2) ，因此f (x ) 在(, 2) 2 x 上的最小值为2 ． 2 ．设A [2,4) ， 2 ，若 ，则实数 的取值范围为 （D ） B {x x ax 4 0} B A a A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[0,3] D ．[0,3) [解] 因x 2 ax 4 0 有两个实根 a a2 x   4  a a2 ，x   4  ， 1 2 4 2 2 4 故B A 等价于x 2 且x 4 ，即 1 2 a a2 且a a2 ，  4  2  4  4 2 4 2 4 解之得0 a 3 ． 3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对 2 方多 2 分或打满 6 局时停止 ．设甲在每局中获胜的概率为 ，乙在每局中获胜的概率为 3 1   ，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数 的期望 E 为 （B ） 3 241 266 274 670 A. B. C. D. 81 81 81 243  [解法一] 依题意知， 的所有可能值为2，4 ，6. 设每两局 比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为 2008 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）第1 页（共9 页）