全国高中数学联赛(山东)赛区竞赛试卷 .pdf

山东省2012 届高中数学夏令营数学竞赛（及答案） 一.填空题(本题共 5 道小题,每小题 8 分,满分 40 分) 1.函数f (x )  1 2x  3  2x 的最大值是 (王泽阳 ________________; 供题) 解: f (x )  1 2x  3  2x  2 2 ,其等号仅当 1 2x  3  2x 即x  1 时 2 成立, 所以,f(x) = 2 2 . 最大 2.如果自然数 a 的各位数字之和等于 5,那么称 a 为“吉祥数”, 将 所有吉祥数从小到大排成一列 a ,a , …,a .若 a =2012.则 n= . 1 2 n n _______________ (王继忠 供题) 解:设x x L x 为吉祥数,则 x +x +…+x =5, 由x ≥1 和 x , …,x ≥0 得 1 2 m 1 2 m 1 2 m (x -1)+x + …+x =4,所以,x x L x 为第C4 个吉祥数. 1x L x 为第C4 个 1 2 m 1 2 m m 3 2 m m2 吉祥数. 由此得:一位吉祥数共 1 个,二位吉祥数共 C4  5 个,三位吉祥数共 5 C4  15 个, 6 因以1 为首位的四位吉祥数共C4  15 个, 以2 为首位的前两个四位吉 6 祥数为: 2003 和 2012.故 n=1+5+15+15+2=38. n 3. 已知f(x)是 2011 次多项式, 当 n=0,1,…,2011 时, f (n)  . n 1 则 f(2012)= ; (王 林 ______ 供题) 解:当 n=0,1,…,2011 时, (n+1)f(n)=n, 即多项式(x+1)f(x)-x 有 2012 个根, 设 (x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2) … (x-2011). 取 x=-1, 则 1=2012!a. 故 1 a  , 2012! x (x 1)(x 2)L (x 2011) x f (x )  