高中一年级数学上册抽象代数课件.pptx

高中一年级数学上册抽象代数课件 汇报人：甘老师 2023-11-27 目录 CONTENTS 引言 集合论初步 函数与映射 代数系统 群论基础 环论基础 域论基础 应用案例分析 引言 01 02 通过学习抽象代数，学生可以了解数学学科的基本理论和方法，培养抽象思维和逻辑推理能力。 抽象代数是高中一年级数学课程中的重要内容，涵盖了群、环、域等基本概念及运算规则。 第一章 第二章 第三章 第四章 01 02 03 04 群与环的基本概念及性质 多项式环与欧几里得环 域的基本概念与性质 分式域与函数域 理解群、环、域的基本概念和性质，掌握它们的运算规则。 了解多项式环和欧几里得环的结构和性质，掌握它们的运算规则。 掌握域的分类方法和性质，了解分式域和函数域的应用。 集合论初步 详细描述 集合通常用大括号 { } 或圆括号 ( ) 来表示，每个元素用逗号分隔。例如，{1,2,3} 表示一个包含三个元素的集合。 总结词 理解集合的定义、元素及其性质 详细描述 集合是由一组具有共同特征的元素组成的，这些元素可以是数、点、图形等。每个元素在集合中被称为一个成员，简称元素。 总结词 掌握集合的表示方法 总结词 理解并掌握集合的交、并、补等基本运算 详细描述 两个集合的交集是它们共有元素的集合，用符号表示为 A ∩ B；两个集合的并集是它们所有元素的集合，用符号表示为 A ∪ B；一个集合的补集是该集合中不属于其他集合的元素的集合，用符号表示为 A。 理解子集与真子集的概念 总结词 如果一个集合A的所有元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集，用符号表示为 A⊆B；如果A是B的子集并且A中至少有一个元素不属于B，那么称A是B的真子集，用符号表示为 A⊈B。 详细描述 函数与映射 函数是定义在非空数集之间的一种对应关系，每一个输入值唯一对应一个输出值。 函数的定义 函数具有唯一性、单射性、满射性和对应性。 函数的性质 映射是两个集合之间的元素之间的对应关系。 映射具有传递性、反对称性、自反性。 映射的性质 映射的概念 常见的函数 线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。 常见的映射 整数映射、有理数映射、实数映射等。 代数系统 代数系统的定义 代数系统是一个由集合和定义在这集合上的运算所组成的系统。 代数系统的性质 代数系统具有封闭性、结合律、单位元、逆元等性质。 在代数系统中，如果对任何两个元素进行运算，其结果仍属于该集合，则称该运算对该集合封闭。 封闭性 如果对任何三个元素进行运算，满足(ab)c=a(bc)，则称该运算满足结合律。 结合律 如果存在一个元素e，使得对任何元素a，满足ae=a，则称e为单位元。 单位元 如果存在一个元素b，使得对任何元素a，满足ab=e，则称b为a的逆元。 逆元 整数加法是一个封闭、结合、存在单位元和逆元的运算。 整数加法 矩阵乘法 向量加法 矩阵乘法是一个封闭、结合、存在单位元但不一定存在逆元的运算。 向量加法是一个封闭、结合、不存在单位元但存在逆元的运算。 03 02 01 群论基础 群是由满足封闭性、结合律和单位元三个条件的元素组成的集合。 群的定义 群具有交换律、结合律、单位元和逆元等性质。 群的性质 VS 如果一个集合是群的一个非空子集，并且满足封闭性、结合律和单位元三个条件，那么这个集合称为群的子群。 陪集的定义 设G是一个群，H是G的一个子群，G的元素g可以写成g=hk，其中h在H中，k在G中，称G的元素g对应H的一个左陪集。 子群的定义 如果存在一个从G到H的映射f，满足f(a*b)=f(a)*f(b)，那么称f为G到H的同态映射。 如果存在一个从G到H的映射f，满足f(a)=f(b)当且仅当a=b，那么称f为G到H的同构映射。 同态的定义 同构的定义 环论基础 环的定义 环是一个有序集，其中包含加法、乘法两种运算，且满足加法、乘法结合律、交换律以及乘法分配律。 环的性质 环具有封闭性、结合律、交换律以及分配律。 理想定义 环中的非空子集，如果满足加法、乘法运算，且对于任意元素 $a$、$b$，如果 $a$ 属于该子集，且 $b$ 属于该子集，那么 $a+b$ 和 $a*b$ 也属于该子集，则称该子集为环的一个理想。 要点一 要点二 商环定义 给定一个环 $R$ 和一个理想 $I$，定义 $R/I$ 为商环。其中，$R/I$ 中的元素是 $R$ 中元素加上 $I$ 的等价类。 同态定义 如果存在一个函数 $\varphi$，它把一个环 $R$ 的元素映射到另一个环 $S$ 的元素，且满足加法、乘法运算的映射性质，那么称 $\varphi$ 为一个同态映射。 同构定义 如果存在一个同态映射 $\varphi$，且它是双射（一一对应），那么称 $R$ 与 $S$ 是同构的。 域论基础 一个域是一个