高中数学：函数方程的解法.docx

PAGE PAGE 1 PAGE PAGE 1 函数方程的解法 摘 要：论文对函数方程的解法进行了总结,常用的解法有:定义法,换元法,解方程组法,赋值法,待定系数法,递推法,列举法,数学归纳法,参数法,利用函数性质的方法,辅助函数法,不动点法,微积分法等,并且举例说明解函数方程的思路. 前言 在说函数方程的解法之前先说说要用到的基础知识..含有未知函数的等式叫做函数方程,如等,其中是未知函数.能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解,如,偶函数,奇函数,周期为2的函数分别是上述各函数方程的解.求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫做解函数方程. 函数的定义：两个非空集合在对应法则下集合的任意一个元素在中都有唯一的一个象与它对应.各类不同的函数有各自本身的性质.例如,六类基本函数的对称性,奇偶性,周期性,增减性,最值性都各有个的不同性质.如指数函数和对数函数,指数函数是对数函数的反函数,但他们却有不同的增减性.函数方程本身概括了某个或某类函数的基本性质,反映了函数的本质特征,因此在求解函数方程时,函数的性质可作为解题的着手处和切入点. 下面我们来看看这些解法是如何定义的,并通过一些例题看一下其一般的解题过程. 1.定义法 定义法是把所给函数的解析式,通过配方、凑项等方法使之变形为关于“自变量”（或“原象”）的表达式,然后用代替“自变量”即得函数的表达式. 已知,求. 解：把解析式按“自变量”——“”变形,得 以 代 ,得 经检验知,它是原方程的解. 解函数方程 解： = = 故 说明：（1）对所求得的函数必须注明定义域.在本例中因所以的定义域为{. （2）解得函数是否函数方程的解必须检验. 2.换元法 换元法是将函数的“自变量”或某个关系式代之以一个新的变量（中间变量）然后找出函数对中间变量的关系,从而求出函数的表达式. 已知 解：令于是 以代,得 3.解方程组法 此方法是将函数方程的变量（或关系式）进行适当的变量代换（有时需要几次代换),得一个或几个新的函数方程,然后与原方程联立,解方程组,即可求出所求的函数. 是定义在的实值函数且. 解：以 由　消去得 例5 试解函数方程 解： 即 由以上两式联立得 解得 从而 4.赋值法 此方法是在函数定义域内,赋予变量(一个或几个)一些特殊值,使方程化简,从而使问题获得解决. 例6 设是定义在R上不恒等于零的函数, 且对于任意,恒有 . 证明: (1) (2) (3) 证明:(1)在中,以 则 所以 所以 (2)在中,令 则 , 因≠0 不妨设 a= 于是 所以 (3)在中,以分别代和得 所以 5.待定系数法 待定系数法适用于所求函数是多项式的情形,当我们知道了函数解析式的类型(如有理整函数或对数函数等)及函数的某些特征(如某些点的函数值或函数的对称性,周期性等),用待定系数法来解函数方程较为简洁.一般首先设出多项式的系数,写出它的一般表达式,然后由已知条件,根据多项式相等的条件确定待定系数. 例7已知. 解:由于 所以 由已知得 比较等式两端同次项系数,得 解之得 所以 6.递推法 递推法设是定义在自然数集N上的函数. (确定的常数),如果存在一个递推(或递归)关系S,当知道了前面项的值,由S可唯一确定的值,那么称为阶递归函数,递归(或递推)法是解决函数方程的重要方法. 例8 已知函数定义在自然数集N上,且对任意,都满足 解： 在上式中依次令 以上个式子相加得 即 7.列举法 求定义在自然数集N上的函数,实际上就是求数列的通项.列举法就是利用等比数列,等差数列的有关知识（通项公式,求和公式等）求定义在N上的函数. 例9 且 解：由 得 例10 解：因为 在上面两式中,等号两边分别加1,得 所以 从而知 是首项为2,公比为2