新课标八年级数学竞赛讲座：第二十二讲 直角三角形的再发现.docx

第二十二讲 直角三角形的再发现 直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论． 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于D，则有： 同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC2， AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2． 角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD． 线段的等积式：由面积得 AC×BC=AB×CD； 由 △ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD，AC2=AD×AB，BC2=BD×AB． 以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识． 注 直角三角形被斜边上的高分成的3 个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是： 一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三 角形问题的计算与证明中． 例题求解 【例 1】 等腰三角形 ABC 的底边长为 8cm，腰长 5cm，一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0．25cm／秒的速度移动，当点 P 运动到PA 与腰垂直的位置时，点 P 运动的时间为 ． (江苏省常州市中考题) 思路点拨 为求BP 需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程． 【例 2】 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于E，S =40cm2，S ：S =1： 矩形ABCD △ABE △DBA 5，则AE 的长为( ) A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm (青岛市中考题) 思路点拨 从题设条件及基本图形入手，先建立AB、AD 的等式． 【例 3】 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB 为 BC 的中点，E 为 AC 上一点，点G 在 BE 上，连结DG 并延长交AE 于 F，若∠FGE=45°． (1)求证：BD×BC＝BG×BE； 求证：AG⊥BE； 若 E 为AC 的中点，求EF：FD 的值．（盐城市中考题） 思路点拨 发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础． (1) EF FD证明△GBD∽△CBE；(2)证明△ABG∽EBA；(3)利用相似三角形，把求 的值转化为求 FD 其他线段的比值． 【例 4】 如图，H、Q 分别是正方形ABCD 的边AB、BC 上的点，且BH=BQ，过B 作 HC 的垂线，垂足为P．求证：DP⊥PQ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨 因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP⊥PQ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证 ∠BPQ=∠DPC，只要证明△BPQ∽△CPD 即可． 注 题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论．因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解法，以培养我们发散思的能力． BC 2BH【例 5】 已知△ABC 中，BCAC，CH 是 AB 边上的高，且满足 AC 2 AH BC 2 BH A 与∠B 的关系，井加以证明． (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A 与∠ B 的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件． 注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题吗?并加以证明． 学力训练 如图，已知正方形ABCD 的边长是 1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上， 当 BQ= 时，三角形ADP 与三角形QCP 相似． (云南省中考题) 如图，Rt△ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DF⊥CB 于E，若BE=6，CE=4，则 AD= ． 3如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=2 ，AC=4，过AC 的中点O 作 EF⊥AC 交 3 AD 于E，交BC 于 F，则 EF= ． (重庆市竞赛题) 4．P 是 Rt△ABC 的斜边BC 上异于B、C 的一点，过点P 作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( ) A．1 条 B． 2 条 C．3 条 D．4 条(2001 年安徽省中考题) 在△ABC 中，AD 是高，且AD2=BD×CD，那么∠BAC 的度数是( ) A．小于 90° B．等于 90° C．大于 90° D．不确定 3如图，矩形ABCD 中，AB= ，BC=3，AE⊥BD 于 E，则EC=( ) 3 7515