新课标八年级数学竞赛讲座：第二十四讲 配方法的解题功能.docx

第二十四讲 配方法的解题功能 把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法． 配方法的作用在于改变代数式的原有结构，是求解变形的一种手段；配方法的实质在于 改变式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具，配方法在代数式的化简求值、解方程、解最值问题、讨论不等关系等方面有广泛的应用． 运用配方法解题的关键是恰当地“配凑”，应具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式． 12 1 2 xy ?1z ? 2【例 1】已知有理数 x，y， x y ?1 z ? 2 为 ． (北京市竞赛题) ? (x ? y ? z) ，那么(x—yz)2 的值 思路点拨 三元不定方程，尝试从配方法人手． y ? 12【例 2】 若 x y ? 1 2 5914A．3 B 59 14 (武汉市选拔赛试题) ? z ? 23C z ? 2 3 2 ，则 x 2 ? y 2 ? z 2 可取得的最小值为( ) D．6 y ? 12z ? 23思路点拨 通过引参，设 x ?1 ? ? ? k ，把 x，y y ? 1 2 z ? 2 3 x 2 ? y 2 ? z 2 转化为关于 k 的二次三项式，运用配方法求其最小值． 【例 3】怎样的整数 a、b、c 满足不等式： a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ? ab ? 3b ? 2c ． (匈牙利数学奥林匹克试题) 思路点拨 一个不等式涉及三个未知量，运用配方法试一试． 【例 4】 求方程 m2－2mn+14n2=217 的自然数解． (上海市竞赛题) 思路点拨 本例是个复杂的不定方程，由等式左边的特点，不难想到配方法． 【例 5】求实数 x、y 的值，使得(y－1)2+(x+y－3)2+(2x+y－6)2 达到最小值． (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 展开整理成关于 x(或 y)的二次三项式，从配方的角度探求式子的最小值， 并求出最小值存在时的 x、y 的值． 【例 6】 为了美化校园环境，某中学准备在一块空地(如图，矩形 ABCD，AB=10m， BC=20m)上进行绿化，中间的一块(图中四边形 EFGH)上种花，其他的四块(图中的四个直角三角形)上铺设草坪，并要求 AC＝AH=CF=CG，那么在满足上述条件的所有设计中，是否存在一种设计，使得四边形 EFGH (中间种花的一块)面积最大?若存在，请求出该设计中AE 的长和四边形 EFGH 的面积；若不存在，请说明理由． (2 温州市中考题) 思路点拨 这是一道探索性几何应用题，解题的关键是代数化．设AE=AH=CF=CG=xm， 则 BE=DG=(20－x)m，四边形 EFGH 的面积可用 x 的代数式表示，利用配方法求该代数式的最大值． 注 配方的对象具有多样性，数，字母、等式、不等式都可以配方；同一个式于可以有不同的配方结果，可以配一个平方式，也可以配多个平方式． 配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质： 若有限个非负数的和为 0，则每一个非负数都为零； 非负教的最小值为零．  学历训练 1．若a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(a ? b ? c) ? 3 ? 0 ，则a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3abc ? ． (2 江西省中考题) 22．设a 2 ? b 2 ? 1 ? 2 ，b 2 ? c 2 ? 1 ? ，则 a 4 ? b 4 ? c 4 ? a 2 b 2 ? b 2 c 2 ? c 2 a 2 的值等于 ． 2( “希望杯”邀请赛试题) 3．分解因式： a 2 ? b 2 ? 4a ? 2b ? 3 = ． 2 4，已知实数 x、y、z 满足 x ? y ? 5 ， z 2 ? xy ? y ? 9 ，那么 x ? 2 y ? 3z = ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) x ? y3 y ? 2 x5．若实数 x、y 满足 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y x ? y 3 y ? 2 x 的值是（ ） 2A．1 B． 3 ? 2 2 C． 3 ? 2 D． 32 226．已知a ? 1999x ? 2000 ，b ? 1999 x ? 2001 ，c ? 1999x ? 2002 ，则多项式a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ac 2 2 的值为( ) A．0 B．1 C． 2 D．3 (全国初中数学竞赛题) 整数 x、y 满足不等式 x 2 ? y 2 ?1 ? 2x ? 2 y ，则 x+y 的值有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 ( “希望杯”邀请赛试题) 4 ? 2 3 4 ? 2 3