新课标八年级数学竞赛讲座：第六讲 实数的概念及性质.docx

第六讲 实数的概念及性质 数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的． 从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后， 数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系． 由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础． 有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： 有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数q 的形式；无理数是 p p无限不循环小数，不能写成分数 q 的形式，这里 p 、q 是互质的整数，且 p ? 0 ． p 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数； 无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． a例题求解 a a【例 1】若 a、b 满足3 a ? 5 b 3=7，则 S＝ 2 3 b 的取值范围是 ． (全国初中数学联赛试题) a思路点拨 运用 a 、 b 的非负性，建立关于 S 的不等式组． 注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为 1 的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 【例 2】 设a 是一个无理数，且 a、b 满足 ab－a－b+1=0，则 b 是一个( ) A．小于 0 的有理数 B．大于 0 的有理数 C．小于 0 的无理数 D．大于 0 的无理数 (武汉市选拔赛试题) 思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立 a 或 b 的关系式． 【例 3】已知 a 、b 是有理数，且(1 ? 3 )a ? ( 1 ? 13 )b ? 2 1 ?1 9 3 ? 0 ，求 a、b 的值． 3 2 4 12 4 20 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a、b 的方程组． 7【例 4】(1) 已知 a、b 为有理数，x，y 分别表示5 ? 7 ＝1，求 a+b 的值． (南昌市竞赛题) 的整数部分和小数部分，且满足 axy+by2 (2)设 x 为一实数，[x]表示不大于 x 的最大整数，求满足[－77.66x]=[－77.66]x+1 的整数 x 的值．(江苏省竞赛题) 思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定 x，y 的值，再代入 xy+by2＝1 中求出 a、b 的值；(2) 运用[x]的性质，简化方程． 注： 设 x 为一实数，则[x]表示不大于 x 的最大整数，[x]]又叫做实数 x 的整数部分，有以下基本性质： (1)x－1[x]≤x (2)若 y x，则[y]≤[x] (3)若 x 为实数，a 为整数，则[x+a]= [x]+ a． ax ? bcx ? d【例 5】 已知在等式 ? s 中，a、b、c、 ax ? b cx ? d 当 a、b、c、d 满足什么条件时，s 是有理数； 当 a、b、c、d 满足什么条件时，s 是无理数． ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 (1)把 s 用只含 a、b、c、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考： 设 a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若 a ≠0，则 a r 也是无理数；③ r 的倒数 1 也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a、b、c、d 取值进行详 r 细讨论． 注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾． 1．已知 x、y 是实数， 学力训练 3x ? 4? y 2 ? 6 y ? 9 ? 0 ，若axy ? 3x ? y 3x ? 4 (2002 年个数的平方根是a 2 ? b 2 和4a ? 6b ? 13 ，那么这个数是 ． y ?183．方程 x ? y ? 5 ? ? 0 y ?18 1214 ． 请你观察思考下列计算过程 ：∵ 112 ＝ 121 ，∴ ? 11 ；同样∵ 1112=12321 ， ∴ 121 12321? 111；?由此猜想 12321 ? ． 12345678987654321(济南市中考题) 12345678987654321 222如图，数轴上表示1、所表示的数是( ) 2 2 2 的对应点分别为 A、B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 22A． ?1