新课标八年级数学竞赛讲座：第二十讲 飞跃-从全等到相似.docx

第二十讲 飞跃-从全等到相似 全等三角形是相似三角形的相似比等于1 的特殊情况，从全等到相似是认识上的一个巨大飞跃，不但认识形式上有质的变化．而且思维方式也产生突变，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的问题中出现的线段间的关系比全等形中的等量关系复杂，不仅有比例式，还有等积式、平方式、线段乘积的和、差、线段比的和差等． 通过寻找(或构造)相似三角形，用以计算或论证的方法，我们称为相似三角形法，在线段长度的计算、角相等的证明、比例线段的证明等方面有广泛的应用，是几何学中应用最广 泛的方法之一． 熟悉以下形如“A 型”、“X 型”“子母型”等相似三角形． 例题求解 【例 1】如图，△ABC 中，∠ABC=60’°，点 P 是△ABC 内一点，使得∠APB=∠BPC= ∠CPA，且 PA=8，PC=6，则 PB= ． (全国初中数学竞赛题) 思路点拨 PA、PB、PC 分别是△ABP、△BCP 的边，从判定这两个三角形的关系入手． 注 相似是几何中的一个概念，但相似性不仅表现在事物的几何形态上，而且还体现在事 物的功能、结构、原理上． 类比推理也贯穿在物理学的全部发展过程中，著名物理学家麦克斯韦曾说：“借助类比，我试图以便利的形式提出研究电现象所必须的数学手段和公式．” a ? a ? b a ? b ? c b【例 2】 a、b、c 分别是△ABC 的三边的长，且 a ? b ，则它的内角∠A、∠B 的关系是( ) A．∠B2∠A B．∠B=2∠A C．∠B2∠A D．不确定 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 先化简已知等式，根据所得等式构造相应线段，通过全等或相似寻找角的关系． 【例 3】 如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是中线，P 是 AD 上一点，过C 作 CF∥ AB，延长BP 交AC 于 E，交CF 于 F．求证：BP2=PE×PF (吉林省中考题) 思路点拨 由于BP、PE、PF 在同一条直线上，所以必须通过作辅助线寻找等线段来转化问题． 【例4】如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF⊥EC 交AB 于F，连结FC(ABAE) ． △AEF 与△EFC 是否相似，若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由； BC设 AB k ，是否存在这样的k 值，使△AEF 与△BFC 相似?若存在，证明你的结论 BC 并求出k 的值：若不存在，说明理由． (重庆市中考题) 思路点拨 本例是一道存在性探索问题，对于(2)，假设存在，则Rt△AEF 与 Rt△BFC 中有一对锐角相等，怎样由边的比值得出角的关系?不妨从特殊角入手，逆推求出k 的值． 【例 5】 如图，△ABC 和△A B C 均为正三角形，BC 和 B C 的中点均为 D．求证：AA ⊥CC ． 1 (重庆市竞赛题) l l 1 1 1 1 思路点拨 作出等边三角形最基本的辅助线，并延长 AA 交 CC 于 E，寻找相似三角形， l l 证明∠A=90°． 注 比例线段(或等积式的)证明是几何问题中的常见题型．基本证法有： (1)从相似三角形入手； (2)利用平行截割定理． 有时需根据要证明的式子，过恰当的点作平行线，在具体证明过程中，常常要作等线段代换、等比代抉或等积代换，以促使问题的转化． 将问题置于几何问题的背景中探索，要综合运用几何代数知识，多角度思考尝试，需要注意的是，若题目没有指出具体的对应关系，结论常常具有不确定性，需要分类讨论． 学力训练 如图，由边长为 1 的 25 个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，在网格上，画 出一个与△ABC 相似且面积最大的△A B C ，使它的三个顶点都落在小正方形的顶点上， 1 l 1 则△A B C 的面积是 ． (泰州市中考题) 1 l 1 如图，在△ABC 中，AB=15cm，AC=12cm，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE∥AB 交 AC 的延长线于点C，那么CE= cm． (重庆市中考题) 如图，正方形ABCD 的边长为 2，AE=BE，MN=1，线段MN 的两端点在CB、CD 上滑动，当CM= 时，△AED 与以M、N、C 为顶点的三角形相似． (桂林市中考题) 如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是 CD 上一点，AE⊥EF，有下列结论： ①∠BAE=30°；②CE2=AB×CF；③CF= 1 CD；④△ABE∽△AEF．其中正确结论的序号 3 是 ． (黄冈市中考题) 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，D 是BC 中点，AE⊥AD 交CB 延长线于点E，则结论正确的是( ) A．△AEDt∽△ACD B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC (江苏省竞赛题) BC如图，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠ABC