新课标八年级数学竞赛讲座：第二十五讲 整体的方法.docx

第二十五讲 整体的方法 我们知道成语“一叶障目”和“只见树木，不见森林”，它们的意思是说，如果过分关注细节，而忽视全局，我们就不会真正理解一个问题． 解数学题也是这样，在加强对局部的研究与分析的基础上，从整体上把握问题．所谓整 体方法就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体 结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联， 进行有目的、有意识的整体处理． 整体方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面有广泛的应用，整体代 人、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、设而不求、几何中的补形等都是整体方法在解数学问题中的具体运用． 例题求解 x ? 3y【例 1】 若 x、y、z 满足 3x+7y+z=1 和 4x+10y+z=2001，则分式 2000x ? 2000 y x ? 3y 的值为 ．(安庆市竞赛题) x ? 3y思路点拨 原式= 2000(x ? y ? z) ，视 x+3 y 与 x+y+z x ? 3y 造． 【例 2】 若△ABC 的三边长是 a、b、c 且满足a 4 ? b 4 ? c 4 ? b 2 c 2 ，b 4 ? c 4 ? a 4 ? a 2 c 2 ， c 4 ? a 4 ? b 4 ? a 2 b 2 ，则△ABC 是( ) A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 三个等式结构一样，孤立地从一个等式入手，都导不出 a、b、c 的关系， 不妨从整体叠加入手． 【例 3】 已知 x ? ，求多项式(4x 3 ?1997x ?1994) 2002 的值． 1? 1? 1994 1994思路点拨 直接代入计算繁难，由已知条件得2x ?1 ? 1994 ，两边平方有理化，可得到 零值多项式，整体代入求值． 【例 4】如图，凸八边形 A A A l 2  A A A A A 3 4 5 6 7 8  中，∠A =∠A l  ，∠A 5 2  = ∠A 6  ，∠A = ∠ 3 A ，∠A =∠A ，试证明：该凸八边形内任意一点到 8 条边的距离之和是一个定值． 7 4 8 (山东省竞赛题) 思路点拨 将八边形问题转化为熟悉的图形来解决，想象完整四边形截去 4 个角就得到八边形，就可知向外作辅助线，关键是证明对边平行． 【例 5】已知 4×4 的数表，如果把它的任一行或一列中的所有数同时变号，称为一次变换，试问能否经过有限次变换，使表中的数全变为正数? 思路点拔 若按要求去实验，则实验次数不能穷尽，每次变换只改变表中一行(或一列) 中 4 个数的符号，但并不改变这 4 个数乘积的符号，这是解本例的关键． 注 由“残部”想“整体”，修残补缺，向外补形，恢复原形，将其拓展为范围更广的、其特征更为明显，更为熟悉的几何图形，这是解复杂几何问题的常用技巧． 从整体上考察问题的数量性质、表现形式是对整体上不变性质、不变量的特性的把握． 学历训练 1．如果 x 2 ? x ?1 ? 0 ，则 x 3 ? 2x 2 ?3 = ． ( “希望杯”邀请赛试题) x 2 ? 21? 3 x 2 ? 2 1? 3 ? 2 ，那么( 1 ? ) ? ( x ? x) = ． 1? x11? xx 2 ?1x 1? x 1 1? x x 2 ?1 x 2 ? 2x  ? x 2 ? 2x ? 2 ，那么 x 2 ? 2x 的值是 ． (河南省竞赛题) 如图，六边形 ABCDEF 中，AB∥DE 且AB=DE，BC∥EF 且 BC=EF，AF∥CD 且 AF=CD， 3∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD= ，则该六边形 ABCDEF 3 的面积是 ． 5 ? 2 5 ? 2 5 ? 2 a 2 ? b 2 ? 7 已知a ? ， b ? ，则 的值为( ) A．3 D．4 C． 5 D．6 (2003 年杭州市中考题) 买 20 支铅笔、3 块橡皮、2 本日记本需 32 元；买 39 支铅笔、5 块橡皮、3 本日记本需 58 元；则买 5 支铅笔、5 块橡皮、5 本日记本需( ) A．20 元 B．25 元 C ．30 元 D．35 元 (江苏省竞赛题) 已知a ，a ，?a 均为正数，且满足M=( a + a +?+ a )( a + a +?+ a －a )，N 1 2 2002 1 2 2001 2 3 2001 2002 ＝(a + a +?+ a －a ) (a + a +?+ a )，则 M 与N 之间的关系是( ) 1 2 2001 2002 2 3 2001 A．MN B．MN C．M＝N D．