新课标八年级数学竞赛讲座：第三十三讲 代数式的化简与求值.docx

第三十三讲 代数式的化简与求值 在前面几讲中我们分别学习了整式、分式以及根式的恒等变形与证明，其中也涉及到它们的化简与求值．本讲主要是把这兰种类型的代数式综合起来，其中求值问题是代数式运算中的非常重要的内容． 对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有： (1)因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的； (2)运算律，适当运用运算律，也有助于化简； 换元、配方、待定系数法、倒数法等； x 4 x 4 ? 6x 3 ? 2x 2 ? 18x ? 23 x 2 ? 8x ? 15 3【例 1】已知 x ? 4 ? ，求 3 的值． 思路点拨 由已知得(x－4)2=3，即 x2－8x+13=0．所以原式=5． 注 本题使用了整体代换的作法． (x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? (z ? a) 2【例 2】已知：x+y+x=3a(a ≠0)，求： (x ? a)( y ? a (x ? a) 2 ? ( y ? a) 2 ? (z ? a) 2 思路点拨 由 x ? y ? z ? 3a 得： (x ? a) ? ( y ? a) ? (z ? a) ? 0 解设 x ? a ? m ， y ? a ? n ， z ? a ? p ，∴ p ? ?(m ? n) ∴原式= 1 （可将m ? n ? p ? 0 两边平方的得到） 2 c【例 3】已知 a ? b ? c c ? a ? b ? c ? ?a ? b ? c ，求 (a ? b)(b ? c)(c ? a) 的值． abcbac思路点拨 设 a ? b ? c abc b a c ? a ? b ? c ? ?a ? b ? c ? k ba? a ? b ? c ? ck b a ∴?? a ? b ? c ? bk ，然后对a ? b ? c ? 0 和a ? b ? c ? 0 两种情况进行讨论，原式=和?1 ． ∴ ? ??? a ? b ? c ? ak ? 【例 4】已知a ? b ? c ? 1 ，a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 ，a 3 ? b 3 ? c 3 ? 3 ，求（1）abc 的值：（2）a 4 ? b 4 ? c 4 1625 1 6 25 6 思路点拨 先由条件求出ab ? bc ? ac ? ? 1 2 ，可得abc ? ， a 4 ? b 4 ? c 4 ? ． 注 这道题充分体现了三个数的平方和，三个数的立方和，及三个数四次方和的常规用法， 这些常用处理方法对我们今后的学习是十分重要的． 2【例 5】 (2003 年河北初中数学应用竞赛题)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为 a，第二次提价的百分率为 b；乙商场：两次提价的百分率都是 a ? b （a0，b0）；丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百 2 分率为 a，则提价最多的商场是( ) A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定思路点拨 乙商场两次提价后，价格最高．选 B a【例 6】 已知非零实数 a、b、c 满足a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ， a( 1 ? 1 ) ? b( 1 ? 1 ) ? c( 1 ? 1 ) ? ?3 ， a b c 求 a ? b ? c 的值． 思路点拨 原条件变形为：(a ? b ? c)(ab ? bc ? ac) ? 0 ∴ a ? b ? c 为±1 或 0． 【例 7】(2001 年重庆市)阅读下面材料： c a b 2在计算 3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 时；我机发现，从第一个数开始，以后的每个数与它的前一个数的差都是一个相同的定值．具有这种规律的一列数，除了直接相加外，我们 还可以用公式S ? na ? n(n ?1) ? d 计算它们的和．(公式中的 n 表示数的个数，a 表示第一个 2 数的值，d 表示这个相差的定值．) 2那么 3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=10 ? 3 ? 10(10 ?1) ? 2 ? 120 ． 2 用上面的知识解决下列问题： 为保护长江，减少水土流失，我市某县决定对原有的坡荒地进行退耕还林．从1995 年起在坡荒地上植树造林，以后每年又以比上一年多植相同面积的树木改造坡荒地，由于每年 因自然灾害、树木成活率、人为因素等的影响，都有相同数量的新坡荒地产生，下表为 1995、1996、1997 年的坡荒地面积和植树的面积的统计数据．假设坡荒地全部种上树后，不再有水土流失形成新的坡荒地，问到哪一年，可以将全县所有的坡荒地全部种上树木． 1995 年 1996 年 1997 年 每年植树的面积（亩） 1000 1400 1800 植树后坡荒地