新课标八年级数学竞赛讲座：第二讲 分解方法的延拓.docx

第二讲 分解方法的延拓 ——配方法与待定系数法 在数学课外活动中，配方法与待定系数法也是分解因式的重要方法． 把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法分解因式的关键是通过拆项或添项，将原多项式配上某些需要的项，以便得到完全平方式，然后在此基础上分解因式． 对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达形式(含待定的字母系数)，然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题获解的这种方法叫待定系数法，用待定系数法解题的一般步骤是： 根据多项式次数关系，假设一个含待定系数的等式； 利用恒等式对应项系数相等的性质，列出含有待定系数的方程组； 解方程组，求出待定系数，再代人所舌问题的结构中去，得到需求问题的解． 例题求解 【例 1】分解因式： 4x 2 ? 4x ? y 2 ? 4 y ? 3 = ． (2002 年重庆市竞赛题) 思路点拨 直接分组分解困难，由式子的特点易想到完全平方式，关键是将常数项拆成 几个数的代数和，以便凑配． 注：拆项即把代数式中的某顷拆成两项的和或差，添项即把代数式添上两个符号相反的项，通过拆添项，多项式增加了项数，从而可以用分组分解发分解． 配方法与待定系数法是数学中重要的思想方法，不仅仅拘泥于分解因式，在后续的学习中如解高次方程、确定函数解析式、挖掘隐舍条件、讨论最值问题等方面有广泛的应用． 【例 2】如果 x 3 ? ax 2 ? bx ? 8 有两个因式x+1 和 x+2，则a+b＝( )． A．7 B．8 C．15 D．2l (2001 年武汉市选拔赛试题) 思路点拨 原多项式的第三个因式必是形如x+c 的一次两项式，故可考虑用待定系数法解． 【例 3】把下列各式分解因式： (1) x 4 ? 7x 2 ?1； (“祖冲之杯”邀请赛试题) （2） x 4 ? x 2 ? 2ax ?1? a 2 ； (哈尔滨市竞赛题) (3) (1? y) 2 ? 2x 2 (1? y 2 ) ? x 4 (1? y) 2 ； (扬州市竞赛题) (4) x 4 ? 2x 3 ? 3x 2 ? 2x ?1 (河南省竞赛题) 思路点拨 所给多项式，或有两项的平方和，或有两项的积的 2 倍，只需配上缺项，就 能用配方法恰当分解． 【例 4】k 为何值时，多项式 x 2 ? 2xy ? ky 2 ? 3x ? 5y ? 2 能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题) 思路点拨 因 k 为二次项系数，故不宜从二次项入手，而 x 2 ? 3x ? 2 ? (x ?1)(x ? 2) ，可得 多项式必为(x ? my ?1)(x ? ny ? 2) 的形式． 【例 5】如果多项式 x 2 ? (a ? 5)x ? 5a ?1 能分解成两个一次因式(x ? b) 、(x ? c) 的乘积(b、 c 为整数)，则a 的值应为多少? (江苏省竞赛题) 思路点拨 由待定系数法得到关于b、c、a 的方程组，通过消元、分解因式解不定方程， 求出 b、c、a 的值． ? 1．(1)完成下列配方问题： x2 ? 2 px ?1 ? 学历训练 x2 ? 2 px ? ( ) x  ?? ( ) ? (x ? ) 2 ? ( ) （江西省中考题） （2）分解因式： a 2 ? b 2 ? 4a ? 2b ? 3 的结果是 ．(郑州市竞赛题) 2．若 x 3 ? 3x 2 ? 3x ? k 有一个因式是x+1，则k ＝ ． 若 x 2 ? 2xy ? y 2 ? a(x ? y) ? 25 是完全平方式，则a = ． (2003 年青岛市中考题) m3 ?1n 2 ?1a ? ba ? b已知多项式 2x 2 ? 3xy ? 2 y 2 ? x ? 8y ? 6 可以 i 分解为(x ? 2 y ? m)(2x m3 ?1 n 2 ?1 a ? b a ? b 5．已知a 2 ? b 2 ? 4a ? 2b ? 5 ? 0 ，则 的值为( ) A．3 B． 1 3 C． ?3 D． ? 1 3 如果 a、b 是整数，且 x 2 ? x ?1 是 ax 3 ? bx 2 ?1 的因式．那么b 的值为( ) A．－2 B．－l C．0 D．2 (江苏省竞赛题) a 4 ? 4 d 分解因式的结果是（ ） A． (a 2 ? 2a ? 2)(a 2 ? 2a ? 2) B． (a 2 ? 2a ? 2)(a 2 ? 2a ? 2) C． (a 2 ? 2a ? 2)(a 2 ? 2a ? 2) D． (a 2 ? 2a ? 2)(a 2 ? 2a ? 2) (北京市竞赛题) 8．把下列各式分解因式： (1) a 4 ?16b 4 ； (2)