新课标八年级数学竞赛讲座：第二十六讲 面积问题评说.docx

第二十六讲 面积问题评说 平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念， 联系着几何图形中的重要元素边与角． 计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 直接法：根据面积公式和性质直接进行运算． 割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题． 等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化． 等比法：将面积比转化为对应线段的比． 熟悉以下基本图形中常见的面积关系： 注 等积定理：等底等高的两个三角形面积相等． 等比定理：(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于对应高之比，同高(或等高)的两个三角形面积之比等于对应底之比； (2)相似三角形面积之比等于对应线段的平方比． 例题求解 【例 1】 在梯形 ABCD 中，AB∥CD，AC、BD 相交于点 O，若 AC=5，BD=12，中位 2线长为13 ，△AOB 的面积为S (山东省竞赛题) 2 ，△COD 的面积为S ，则 = ． SS?1 2 1 2 S S ? 思路点拨 本例综合了梯形、面积等丰富的知识，图形中有重要面积的关系：S =S 2△AOD 2 = △BOC ，S =S +S + S S1 2 S S 1 2 = ( ? S ) 2 (读者证明)，于是将问题转化为求梯 S S1 2 S S 1 2 S 1 形 ABCD 的面积． 【例 2】 如图，在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD⊥CE， BD＝4，CE=6，那么△ABC 的面积等于( ) A．12 B．14 C．16 D．18 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨 由中点想到三角形中位线，这样△ABC 与四边形BCDE 面积存在一定的关系， 只要求出四边形BCDE 面积即可． 【例 3】如图，P、Q 是矩形ABCD 的边BC 和CD 延长线上的两点，AP 与 CQ 相交于 点 E，且∠PAD=∠QAD，求证：S =S ． (重庆市竞赛题) 矩形ABCD △APQ 思路点拨 把面积用相应的线段表示，面积的证明问题就转化为线段的等积式的证明．注意等线段的代换． 【例 4】 如图甲，AB、CD 是两条线段，M 是 AB 的中点，S 、S 、S 分 △DMC △DAC △DBC 别表示△DMC、△DAC、△DBC 的面积，当AB∥CD 时，有S = · S?DAC S ?DAC S 2 ?DBC 如图乙，若图甲中AB 不平行CD，①式是否成立?请说明理由； 如图丙，若图甲中 A 月与 CD 相交于点 O 时，问 S 和 S 和 S 有何种相等 △DMC △DAC △DBC 关系?试证明你的结论． (安徽省中考题) 思路点拨 对于(1)，因△DMC、△DAC、△DBC 同底，要判断①式是否成立，只需寻找它们的高之间的关系：对于(2)，由于 M 为 AB 中点，可利用等积变换得到相等的面积关系，通过建立含S 、S 、S 的等式寻找它们的关系． △DMC △DAC △DBC 注 本例综合了三角形、梯形中位线、等积变形等知识，要求我们在动态型数学情景下 进行观察、分析、探索、猜想和论证． 通过强化或弱化条件，改变图形的位置等方式进一步探究问题是发展几何问题的重要途径． 【例 5】如图，设P 为△ABC 内任意一点，直线AP、BP、CP 交BC、CA、AB 于点D、 E、F． ADBECF求证：（1） PD ? PE ? PF AD BE CF ? 1 ；（2） PA PB PC ADBECF? ? AD BE CF ? 2 ． 思路点拨 过P 点、A 点分别作BC 的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可与面积联系起来，把羔转化为面积比，利用面积法证明． 注 有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边角两个重要元素， 所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法． 用面积法解题的基本步骤是： 用不同方法或从不同角度计算某一图形面积，得到一个含边或舍角的关系式． (2)化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果． 当问题涉及三角形的高、垂线或角平分线时，不妨用面积法试一试． 学力训练 1．如图，是一个圆形花坛，中间的鲜花构成了一个菱形图案(图中尺寸单位为米)，如果每平方米种植鲜花 20 株，那么这个菱形图案中共有鲜花 株． (第 14 届“希望杯”邀请赛试题) 如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为4 和 2，那么阴影部分的面积为 ． (2003 年上海市中考题) AC2S?ABDS?CAD如图，在△ABC 中，∠B=∠CAD， BD ? 3 AC 2 S ?ABD S