新课标八年级数学竞赛讲座：第三讲 因式分解的应用.docx

第三讲 因式分解的应用 在一定的条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式的恒等变形，是研究代数式、方程和函数的基础． 因式分解是代数变形的重要工具．在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方 程等知识的基础，现阶段．因式分解在数值计算，代数式的化简求值，不定方程(组)、代数 等式的证明等方面有广泛的应用．同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高． 因此，有人说因式分解是学好代数的基础之一． 例题求解 【例 1】若 x 2 ? xy ? y ? 14 y 2 ? xy ? x ? 28 ，则 x ? y 的值为 ． (全国初中数学联赛题) 思路点拨 恰当处理两个等式，分解关于x ? y 的二次三项式． 注： 在信息技术飞速发展的今天，信息已经成为人类生活中最重要的因素．在军事、政治、 商业、生活等领域中，信息的必威体育官网网址工作显得格外重要．现代必威体育官网网址技术的一个基本思想，在编制密码的工作中，许多密码方法，就来自于因数分解、因式分解技术的应用． 代数式求值的常用方法是： 代入字母的值求值； (2)通过变形，寻找字母间的关系，代入关系求值； (3)整体代入求值． 【例 2】已知 a、b、c 是一个三角形的三边，则a 4 ? b 4 ? c 4 ? 2a 2 b 2 ? 2b 2 c 2 ? 2c 2 a 2 的值( ) A．恒正 B．恒负 C．可正可负 D．非负 (大原市竞赛题) 思路点拨 从变形给定的代数式入手，解题的关键是由式于的特点联想到熟悉的结果， 注意几何定理的约束． 【例 3】计算下列各题： (2 ? (2 ? 2 ? 2)(4 ? 7 ? 2)(6 ? 9 ? 2)(8?11? 2)?(1994 ?1997 ? 2) (1? 4 ? 2)(3? 6 ? 2)(5? 8 ? 2)(7 ?10 ? 2)?(1993?1996 ? 2) 20003 ? 20003 ? 2 ? 20002 ?1998 20003 ? 20002 ? 2001 思路点拨 观察分子、分母数字间的特点，用字母表示数，从一般情形考虑，通过分解变形，寻找复杂数值下隐含的规律． 【例 4】已知 n 是正整数，且 n4—16n2+100 是质数，求 n 的值． ( “希望杯’邀请赛试题) 思路点拔 从因数分解的角度看，质数只能分解成 l 和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形，是解本例的最自然的思路． 【例 5】(1)求方程6xy ? 4x ? 9 y ? 7 ? 0 的整数解； (上海市竞赛题) 设 x、y 为正整数，且 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 96 ? 0 ，求 xy 的值． ( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拔 观察方程的特点，利用整数解这个特殊条件，运用因式分解或配方，寻找解题突破口． 链接 解题思路的获得，一般要经历三个步骤： (1)从理解题意中提取有用的信息，如数式特点、图形结构特征等； (2)从记忆储存中提取相关的信息，如有关公式、定理、基本模式等； 将上述两组信息进行进行有效重组，使之成为一个舍乎逻辑的和谐结构． 不定方程(组)的基本解法有： 枚举法； (2)配方法；(3)因数分解、因式分解法； (4)分离系数法． 运用这些方法解不定方程时，都需灵活运用奇数偶数、质数合数、整除等与整数相关的知识． 学力训练 已知 x+y＝3， x 2 ? y 2 ? xy ? 4 ，那么 x 4 ? y 4 ? x 3 y ? xy 3 的值为 ． 方程 x 2 ? xy ? 5x ? 5y ?1 ? 0 的整数解是 ． ( “希望杯”邀请赛试题) 3．已知 a、b、c、d 为非负整数，且 ac+bd+ad+bc=1997，则 a+b+c+d＝ ． 对一切大于 2 的正整数 n，数 n5 一 5n3+4n 的量大公约数是 ． (四川省竞赛题) 已知 724－1 可被 40 至 50 之间的两个整数整除，这两个整数是( ) A．41，48 B．45，47 C．43，48 D．4l，47 xyyx6，已知 2x2－3xy+y2＝0(xy≠0)，则 ? x y y x 1212A． 2， 2 B．2 C． 2 D．－2， ? 2 1 2 1 2 2 a、b、c 是正整数，ab，且 a2-ac+bc=7，则 a—c 等于( ) A．一 2 B．一 1 C．0 D． 2 (江苏省竞赛题) 8．如果3x 3 ? x ? 1 ，那么9x 4 ?12x 3 ? 3x 2 ? 7x ? 2001 的值等于( ) A．1999 B．2001 C．2003 D．2005 （武汉市选拔赛试题） 9．(1)求证：8l7 一 279—913 能被 45 整除； 证明：