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专题11模型构建专题:全等三角形中的常见解题模型
考点一四边形中构造全等三角形解题考点二一线三等角模型
考点三三垂直模型考点四倍长中线模型
典型例题
典型例题
考点一四边形中构造全等三角形解题
【例题】(2021·天津·耀华中学八年级期中)如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD.求证∠C=∠A.
【变式训练】
1.(2020·河南洛阳·八年级期中)已知,如图,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,求证:DE=DF.
2.(2022·山东济宁·八年级期末)如图,在四边形ABCD中,于点B,于点D,点E,F分别在AB,AD上,,.
(1)若,,求四边形AECF的面积;
(2)猜想∠DAB,∠ECF,∠DFC三者之间的数量关系,并证明你的猜想.
3.(2022·全国·八年级课时练习)如图,在四边形ABCD中,AD=AB,DC=BC,∠DAB=60°,∠DCB=120°,E是AD上一点,F是AB延长线上一点,且DE=BF.
(1)求证:CE=CF;
(2)若G在AB上且∠ECG=60°,试猜想DE,EG,BG之间的数量关系,并证明.
考点二一线三等角模型
【例题】(2021·湖北·黄石八中八年级阶段练习)如图,D,A,E三点都在一条直线上,且∠BDA=∠AEC=∠BAC,AB=AC,求BD,CE,DE之间的数量关系.
【变式训练】
1.(2022·全国·八年级)如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,CD=AB,点E在边AC上,且AD=DE,∠BAD=∠CDE.
(1)如图1,求证:BD=CE;
(2)如图2,若DE平分∠ADC,在不添加辅助线的情况下,请直接写出图中所有与∠ADE相等的角(∠ADE除外).
2.(2021·福建·莆田第七中学八年级期中)(1)〖问题背景〗如图1,B、E、M三点共线,∠DEF=∠B=∠M,DE=EF,求证:△DBE≌△EMF;
(2)〖变式运用〗如图2,B、E、C三点共线,△DEF为等边三角形,∠B=60°,∠C=30°,求证:EC=BD+BE.??
3.(2022·全国·八年级)(1)如图①,点B、C在∠MAN的边AM、AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF.
(2)应用:如图②,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D在边BC上,且CD=2BD,点E,F在线段AD上.∠1=∠2=∠BAC,若△ABC的面积为15,求△ABE与△CDF的面积之和.
4.(2022·陕西·西安市第三中学七年级阶段练习)(1)如图1,已知△ABC是直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,直线l经过点A,分别从点B、C向直线l作垂线,垂足分别为D、E.请写出图中全等的一对三角形是______.
(2)如图2,△ABC中,AB=AC,直线l经过点A,点D、E分别在直线l上,如果∠CEA=∠ADB=∠BAC,猜想DE、BD、CE有何数量关系?给予证明.
(3)某学校学生小明在科技创新大赛上,创作了一幅机器人图案,大致图形如图3,以△ABC的边AB、AC为腰向外作等腰Rt△BAD和等腰Rt△CAE,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,AG是BC边上的高,延长GA交DE于点H,经测量,DE=50cm,求HE的长.
考点三三垂直模型
【例题】(2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D.
(1)求证:△BCE≌△CAD;
(2)若AD=12,BE=5,求ED的长.
【变式训练】
1.(2022·广东·佛山市南海区瀚文外国语学校七年级阶段练习)如图,∠BAC=90°,AB=AC,BE⊥AD于点E,CF⊥AD于点F,求证:CF=EF+BE.
2.(2021·天津·八年级期中)在△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于E.
(1)如图(1)所示,若B,C在AE的异侧,易得BD与DE,CE的关系是DE=;
(2)若直线AE绕点A旋转到图(2)位置时,(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何?请予以证明;
(3)若直线AE绕点A旋转,(BD>CE),问BD与DE,CE的关系如何?请直接写出结果,不需证明.
3.(2021·陕西·西安爱知初级中学七年级期末)(1)【问题发现】如图1,△ABC与△CDE中
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