2024届中考数学压轴题攻略（湘教版）专题11 模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型 （解析版）.docxVIP

专题11模型构建专题：全等三角形中的常见解题模型

考点一四边形中构造全等三角形解题考点二一线三等角模型

考点三三垂直模型考点四倍长中线模型

典型例题

典型例题

考点一四边形中构造全等三角形解题

【例题】（2021·天津·耀华中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证∠C＝∠A．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

先连接BD，由AB＝CB、AD＝CD、BD=BD可证△ABD≌△CBD，即可证得结论．

【详解】

证明：如图：连接BD，

∵在△ABD和△CBD中，

∴△ABD≌△CBD，

∴∠C＝∠A．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用SSS证明三角形全等是解答本题的关键．

【变式训练】

1．（2020·河南洛阳·八年级期中）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE＝DF．

【答案】见解析

【分析】连接AD，利用“边边边”证明△ABD和△ACD全等，然后根据全等三角形对应角相等可得∠BAD＝∠CAD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等证明即可．

【详解】证明：如图，连接AD，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠BAD＝∠CAD，

∴AD是∠BAC的平分线，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

2．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．

(1)若，，求四边形AECF的面积；

(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

【答案】(1)48

(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；

（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC

(1)

解：连接AC，如图，

在△ACE和△ACF中

∴△ACE≌△ACF（SSS）．

∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．

∵CB⊥AB，CD⊥AD，

∴CD＝CB＝6．

∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．

∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．

(2)

∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC

证明：∵△ACE≌△ACF，

∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．

∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，

∴∠DFC＝∠BEC．

∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，

∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC

＝∠DAB＋∠ECF．

∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．

3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，且DE＝BF．

(1)求证：CE＝CF；

(2)若G在AB上且∠ECG＝60°，试猜想DE，EG，BG之间的数量关系，并证明．

【答案】(1)见解析

(2)DE+BG＝EG，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）通过角的计算得出∠D＝∠CBF，证出△CDE≌△CBF（SAS），由此即可得出CE＝CF；

（2）连接AC，结合AC＝AB、DC＝BC即可证出△ABC≌△ADC，由此即可得出∠BCA＝∠DCA＝60°，再根据∠ECG＝60°即可得出∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，由（1）可知△CDE≌△CBF，进而得知∠DCE＝∠BCF，根据角的计算即可得出∠ECG＝∠FCG，结合DE＝DF即可证出△CEG≌△CFG，即得出EG＝FG，由相等的边与边之间的关系即可证出DE+BG＝EG．

(1)

证明：∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，

∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180