专题01 二次函数的图象与性质重难点题型专训（原卷版）.docx

专题01二次函数的图象与性质重难点题型专训

【题型目录】

题型一二次函数的图象与各系数之间的关系

题型二二次函数图象的平移与对称问题

题型三利用二次函数的性质求自变量的范围

题型四待定系数法求二次函数的关系式

题型五根据二次函数的对称性求函数值

题型六二次函数与x、y轴的交点坐标问题

题型七利用二次函数的性质求最值

题型八二次函数的图象与性质的新定义问题

题型九二次函数的图象与性质综合问题

【知识梳理】

知识点二：二次函数的图像与性质

二次函数y=ax2的图象的性质：

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0．

的性质：上加下减

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

轴

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

轴

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

的性质：左加右减

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

x=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

的性质：左加右减，上加下减

的符号

开口方向

顶点坐标

对称轴

性质

向上

x=h

时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

向下

x=h

时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．

一般式：（，，为常数，）；

函数

二次函数（a、b、c为常数，a≠0）

图象

开口方向

向上

向下

对称轴

直线

直线

顶点坐标

增减性

在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增

在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减

最大(小)值

抛物线有最低点，当时，y有最小值，

抛物线有最高点，当时，y有最大值，

知识点三：二次函数的图象与a，b，c的关系

学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑．

1．基础四看

“基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用．

2．组合二看

(1)三全看点

在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可．

(2)有缺看轴

当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可．

3．取值计算

当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断．

二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系.

(1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下.

(2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴.

(3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴.

(4)的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点.

(5)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.

(6)的符号由时，的值确定:若，则;若，则.

知识点四：二次函数图象的平移

由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平