倾斜角与斜率(附答案).doc

(完整word)倾斜角与斜率(附答案)

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倾斜角与斜率

[学习目标］1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2。掌握求直线斜率的两种方法。3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素。

知识点一直线的倾斜角

1。直线倾斜角的定义

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

2。直线倾斜角的取值范围

直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.

思考当一条直线的倾斜角为0°时，此时这条直线一定与x轴平行吗？

答不一定.也可能与x轴重合.

知识点二直线的斜率

1.直线斜率的定义

一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k＝tanα.

思考所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？

答不是.若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角应为90°.

2。倾斜角α与斜率k的关系

直线情况

平行于x轴

由左向右上升

垂直于x轴

由左向右下降

α的大小

0°

0°＜α＜90°

90°

90°＜α＜180°

k的范围

0

k＞0

不存在

k＜0

k的增减性

随α增大而增大

随α增大而增大

知识点三直线斜率的坐标公式

经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直线的斜率公式是k＝eq\f(y2－y1,x2－x1）.

思考在同一直线(与x轴不重合）上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？

答相等。对于一条直线来说其斜率是一个定值,与所选择点的位置无关,所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等。

题型一直线的倾斜角

例1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,得到直线l1，那么l1的倾斜角为(）

A。α＋45°

B。α－135°

C。135°－α

D。当0°≤α〈135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α〈180°时,倾斜角为α－135°

答案D

解析根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α〈180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，

不合题意.通过画图(如图所示）可知：

当0°≤α135°时，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α〈180°时,l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.

跟踪训练1给出下列命题：

①任何一条直线都有惟一的倾斜角；

②一条直线的倾斜角可以为－30°；

③倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴；

④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一映射.

其中正确命题的个数是（)

A.1B.2C。3D。4

答案A

解析

序号

正误

理由

①

√

任何一条直线都有惟一的倾斜角，故①正确

②

×

倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，故②错误

③

×

所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0°，故③错误

④

×

倾斜角相同的直线有无数条，不是一一映射,故④错误

题型二直线的斜率

例2已知直线l过P（－2,－1)，且与以A（－4,2)，B（1，3)为端点的线段相交,求直线l的斜率的取值范围.

解根据题中的条件可画出图形，如图所示，

又可得直线PA的斜率kPA＝－eq\f(3,2)，

直线PB的斜率kPB＝eq\f（4，3),

结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时,它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为eq\b\lc\［\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)），

当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时,它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角,故斜率的变化范围是eq\b\lc\（\rc\］（\a\vs4\al\co1（－∞,－\f（3，2)））.

综上可知，直线l的斜率的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)））∪eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（4,3)，＋∞））.

跟踪训练2已知A（3，3），B(－4,2），C(0，－2）。

（1）求直线AB和AC的斜率;

(2）当点D在线段BC(包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围.

解（1）由斜率公式,得直线AB的斜率kAB＝eq\f(2－3，－4－3）＝eq\f（1，7)；

直线AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f（5，3）.

故直线AB的斜率为eq\f(1，7),直线AC的斜率为eq\f(5，3）.

(2）如图，当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC，

所