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第1章函数、极限与连续函数第1讲大学文科数学（慕课版）主讲教师|

2引言函数是微积分的主要研究对象，是指一个量随着另一个（或几个）量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个（或几个）量。凡此变数中含彼变数者，则此为彼之函数。---《代数学》

3本节内容02函数的性质03函数的运算04常见函数01函数的概念

401函数的概念2.区间：开区间,闭区间,半开半闭区间.4.映射：单射，满射，一一映射，逆映射，复合映射预备知识??

5日常生活中我们遇到的量可以分为两类：常量：只能取一个固定的值变量：数值不断变化??定义1.301函数的概念?

601函数的概念我们注意到，函数是给定一个非空集合和一个对应法则，进而可以确定值域了，因此习惯上说定义域和对应法则是函数的两要素。??注（1）两要素可以作为判断两个函数是否相同的标准；（2）通常将使函数有意义的一切实数组成的集合称为函数的自然定义域。

701函数的概念???

8??例1解01函数的概念根据题意,有：???????????

9本节内容02函数的性质03函数的运算04常见函数01函数的概念

1002函数的性质初等数学中所讨论的函数的性质主要是指：（1）有界性???

1102函数的性质??OxyM-Mbay=f（x）

1202函数的性质（2）单调性??xyOx1x2abf（x1）f（x2）yxOx1x2abf（x1）f（x2）

1302函数的性质（3）奇偶性??定义域要对称！xyO-xxP(-x,f(x))P(x,f(x))xyOQ(-x,-f(x))Q(x,f(x))

1402函数的性质（4）周期性??注??（2）通常我们所说的周期是指最小正周期;（3）并非任意周期函数都有最小正周期。（1）一般的,周期函数的定义域为R;

15本节内容02函数的性质03函数的运算04常见函数01函数的概念

1603函数的运算四则运算????

1703函数的运算在函数的定义中,自变量和因变量的地位是相对的,其函数关系可能具有可逆性。??定义1.4反函数?

1803函数的运算??注??

1903函数的运算?

2003函数的运算??定理1.1单调函数必有反函数，且单增（减）函数的反函数也单增（减）。?,[0,)yxx=?+∞2,[0,)yxx=?+∞xyO11

2103函数的运算??定义1.5复合函数?在实际问题中,有时变量间的关系不是直接的,而是通过另一个变量联系起来的,从而形成了复合函数。

2203函数的运算（2）这一概念也可推广至多个函数复合的情形,（3）下图直观展示了复合函数的生成过程,需要时刻注意定义域的变化！??注??DxguRgDffy

23本节内容02函数的性质03函数的运算04常见函数01函数的概念

2404常见函数基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成能用一个式子表示的函数称为初等函数。

2504常见函数

2604常见函数

2704常见函数

2804常见函数分段函数在自变量的不同变化范围内，对应法则具有不同表达式的函数称为分段函数。（1）绝对值函数???y=|x|Oxy

2904常见函数（2）符号函数????Oxyy=sgnx1-11-1yxOy=[x]321-1-1-2-3123-2-3

3004常见函数在后续的学习中我们还会拿这个函数来举例（或反例）。?Dirichlet函数是微积分中十分特殊的一类函数,它具有很多独特的性质,例如：我们不太容易在平面直角坐标系中绘制图像;它是周期函数,但是却没有最小正周期

3104常见函数??例2解确定函数的定义域并画出图形.此函数为分段函数，其定义域为????其图形如图1.7所示.图1.732112-1-2y=f(x)yxO

3204常见函数??例3某城市制定的每户用水收费（含用水费和污水处理费）标准如表1.1所示.表1.1用水量不超出10m3的部分超出10m3的部分用水费（元/）1.32污水处理费（元/）0.30.8?

3304常见函数解根据题意知,两者之间的关系可用分段函数表示,如下所示.???

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第1章函数、极限与连续第2讲大学文科数学（慕课版）极限的定义与性质主讲教师|

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