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高中数学圆锥曲线知识点总结

专题一：椭圆

椭圆的定义

平面内到两定点的距离的和为常数（大于）的动点的轨迹叫椭圆。即

当2﹥2时，轨迹是椭当2=2时，轨迹是一条线段，当2﹤2时，轨迹不存在。

椭圆的几何性质：

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

轴长

短轴的长长轴的长

焦点

、

、

离心率

（符合勾股定理的结构）

【补充】过焦点做垂直与实轴且交椭圆的线段叫通径，通径的一半为

专题二：双曲线

知识点：

1、双曲线的概念：平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。即

当2﹤2时，轨迹是双曲线

当2=2时，轨迹是两条射线

当2﹥2时，轨迹不存在

【注】有绝对值时是两支，不含绝对值时仅一支.

2、双曲线的标准方程及几何性质：

焦点的位置

焦点在轴上

焦点在轴上

图形

标准方程

轴长

虚轴的长实轴的长

焦点

、

、

离心率

渐近线方程

【注】焦点到渐近线的距离为；通径为。

3、常见双曲线的设法：

（1）已知的双曲线设为；

（2）已知过两点的双曲线可设为；

（3）已知渐近线的双曲线方程可设为.

4、两种特殊的双曲线：

（1）实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．

等轴双曲线的离心率为.

（2）双曲线的共轭双曲线方程为，它们有共同的渐近线为，它们的离心率满足的关系式为.

5、焦点三角形：

设若双曲线方程为，F1,F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：

若则；特别地，当时，有。

6、直线与双曲线的位置关系：（注意直线与渐近线平行）

思考：平面内任一点P作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线有几条？

几何方法：

1、若P在双曲线内，有2条（分别与渐近线平行）；

2、若P在双曲线上，有3条（与渐近线平行的有两条，切线一条）；

3、若P在双曲线外：

①若P在渐近线上且P为原点时，0条；

②若P在渐近线上且P不为原点时，2条（与另一渐近线平行的一条，切线一条）；

③若P不在渐近线上，有4条（与渐近线平行的有两条，切线两条）；

代数方法：

通过对直线方程与双曲线方程组成的一元二次方程组的求解来讨论它们的位置关系。

（1）若方程组消元后得到一个一元二次方程，则应根据Δ来讨论。

（2）对于直线与双曲线的位置关系，还可以利用数形结合，以形助数的方法来解决。

7、弦长公式

注：x1?x2=(x1+x2)2?4x1x

【注】出现弦中点问题要用点差法

8、轨迹两种方法：（1）直接找动点的特点分析和差关系；（2）设动点坐标。

【注】出现三角形要保证三点不共线、出现斜率要保证存在

重点：

①双曲线的概念及几何性质、离心率、渐近线方程；

②直线与圆锥曲线联立解决大题。

专题三：抛物线

知识点：

（一）抛物线的定义

（二）抛物线的方程与几何性质

标准方程

图形

顶点

对称轴

焦点

准线

焦半径

轴

轴

轴

轴

【注意】1、强调的几何意义：是焦点到准线的距离；

2、抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线

（三）抛物线的其他性质

1、焦点弦：

定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。

焦点弦公式：设两交点，可以通过两次焦半径公式得到：

当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：

抛物线，

抛物线，

当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：

抛物线，

抛物线，

2、通径：

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦

直接应用抛物线定义，得到通径：

3、若已知过焦点的直线倾斜角

则

4、常用结论：

和

和

重点及难点：

①四种方程的区别；

②抛物线上一点到焦点的距离、到准线的距离、到y轴的距离三者的转化；

③抛物线与直线联立解决综合问题。