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第一章
1.3
证：
A B ? 9?4?1?(?6) ?(?6)?5? 0
? A和B相互垂直A?B=0
? A和B相互平行
1.11
（1）
?A?divA?
?Ax??Ay??Az
?x ?y ?z
?2x?2x2y?72x2y2z2
(2)由高斯散度定理有
?Ads??
?Ad? ??0.5
dz?0.5
dy?0.5
(2x?2x2y?72x2y2z2)dz
? ?0.5
s
? 1
24
?0.5 ?0.5
1.18
（1）因为闭合路径在xoy平面内，故有：
A??dl?(ex?e x2?e y2z)(edx?e
x y z x y
dy)?xdx?x2dy
??A??dl?8(2)
因为S在XOY面内，?A??ds?(e
x
??(?A??ds)?8
s
所以，定理成立。
1.21
(1) 由梯度公式
2yz?e2x)(edxdy)?2xdxdy
z x
?u?e
x
?u?e
?x y
?u?e
?y z
?u|
?z (2,1,3)
?4e ?10e ?e
x y z
方向导数最大值为42
?102
117?12 ?
117
117方向：1（4e ?10e ?e）
117
x y z
（2）
最小值为0，与梯度垂直
1.26
证明
? ? ?u ? 0
? ?A ? 0
书上p10 1.25
第二章2.1
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4?? q
4
3
V ?e
?
?a3
wrsin?
J???V?e
?
3qwrsin?4?a3
2.3
用圆柱坐标系进行求解
场点坐标为P(0,0,z).线电荷元?
l
dl ??
?d?
l
R
R?Er R?ez z?ea a
得Er ?ez z?ea a,r?
z2?a2
z2?a2
E??
E??2?
ez z?ea a
??d?
ea=ex
ea=excos??eysin???2?ea d? ?0
0
?E?e
??z
l
3
0（z2
?a2）2
4??0 l
z 3
（z2?a2）2
2?0
2.8
? E ds?
? E ds?4?r2
s
Eq??r(b2 ?r2
E(r)
? ??b2
? ??
)4 r2dr 4 (
?r5)
0 3 5
由高斯定理有
? E ds=Eq
s ?0
即4?r2E(r)=
4?(b2r3 ?r5)
?0 3 5
1?E(r)=?0
1
(b2r
3
?r3)
5
? E ds
? E ds?4?r2
s
Eq??b(b2 ?r2
0
由高斯定理有
E(r)
)4?r2dr ?8?b5
15
E(r)=
Eq ? 2b5
4?r2?0 15r2?0
2.11
当r1b 则，E=Eb-Ea
?Ebds=?q
?
0
?Eb 2? r1l ?
?b2l?
?
?Eb ?
b2?e
?r1
?
2
0
,同理： Ea ?
a2?e
?r2
?
r1 2 r2
0 0
? b2e a2e
(?E ? Eb ?Ea ?
(
2?
0
(2)
r1 ?
r1
r2)
r2
对于r1b 且在空腔外， E=Eb-Ea
?Ebds=
?q，
?
0
?Eb 2? r1l ?
?r12l?
0?
0
r1Eb ? r1?
r1
2?
0
r2而Ea ? a2?e
r2
2?
r2
0
? a2e
2??E ? (r1e ?
2?
r1
0
r2)
r2
(3)r1?b且在空腔内 E=Eb-Ea
?Eds=?
?Eds=
?q，
?
r1?e
0
r1,Ea ?
?2
?
r2?e
?r2
?
0?
0
?E ? Eb ?Ea
?
r1?e
2?
r1
0
?
r2?e
2?
r2
?
?
2?
(r1e
r1
r2e
r2
)
0
0
0
2.14
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