电磁场与电磁波课后习题及答案第四章习题解答.docx

习题解答

如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，

0，求槽内的电位函数。

0，求槽内的电位函数。

槽的电位为零，上边盖板的电位为

解根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为

① ?(0,y)??(a,y)?0

② ?(x,0)?0

?(x,b)?U

③ 0

根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为

?(x,y)???

n?y n?x

Asinh( )sin( )

ybU

y

b

U0

o

a

x

n?1

由条件③，有

U ???

n?b n?x

Asinh( )sin( )

a

题4.1图

0 n

n?1

sin(

a a

n?x)

两边同乘以

，并从0到a对x积分，得到

?2U

?

A

n

? 4U

asin(n?x)dx?

asinh(n?

asinh(n?ba)

0

?

0

2Un?sinh(n?ba)0

2U

n?sinh(n?ba)

0

?n?sinh(0

??n??0，

?

?

n

ba)

,n?1,3,5,

n?2,4,6,

?(x,y)?4U0 ? 1 sinh(n?y)sin(n?x)

故得到槽内的电位分布

?

n?1,3,5,

nsinh(n?ba) a a

两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。

y?

y?0

上板和薄片保持电位 0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从 到

y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。

yU

y

U0

boxy

dxy

oxy

x

?(x,y)??

1

(x,y)??

2

(x,y)

?

其中，

(x,y)

1

为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为

题4.2图

U0）的电位，即

?(x,y)?Uyb

1 0

；?2(x,y)

是两个电位为零

?(x,y)?0(x??)

② 2

的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：

?(x,0)??(x,b)?0

① 2 2

??U ?U0y

?

(0?y?d)

??(0,y)??(0,y)??(0,y)?? 0 b

?

2 1 ?U

?

0y?

U0y

(d?y?b)

b③ ?d b

b

?(x,y)???

Asin(n?y)e?n?x

2根据条件①和②，可设?2(x,y)的通解为

2

n b

n?1

??U ?U0y

?

(0?y?d)

???A

?

sin(n?y)?? 0 b

n

n?1

?U

?

0y?

U0y

(d?y?b)

由条件③有

sin(n?y)

?d b

两边同乘以

b ，并从0到b对y积分，得到

0A?2U ?d

0

(1?y)sin(n?y)dy?2U ?b

(1?1)ysin(n?y)dy?

2U b n?d

0 sin( )

0n b b b b

0

0

d b b (n?)2d b

d

U 2bU

?? 1 n?d n?y ?n?x

0y? 0 sin( )sin( )e b

故得到

?(x,y)?

b d?2

n2 b b

n?1

W2

W

C ? e

Uyb

求在上题的解中，除开 0

f U2

一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。并按 0

定出边缘电容。

解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度

???y2?

??

?y

2

2?U ??1 n?d ?n?x

00

0

0

??

2 0

y?0

?d

n?1

sin( )e b

n b

则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷

q ????dx?2???

dx??2????

2?U sin(n?d)e?n?xdx?

0?0?

0

0

4?Ub?? 1 n?d

2 2 2

? b ?

0 0 sin( )

?? 0

n

0n?1

d b ?2d n2 b

n?1

W?1qU

??2?

bU2 ?

?0 0

?

1sin(n?d)

相应的电场储能为

e 2 2 0

?2d

n?1

n